Obrigado ao Ojesed pela idéia de fazer uma
substituição de variável do tipo z=(x+1) para
simplificar a análise. Deve ser útil. Mas não dá
para aplicar Cardano diretamente, porque (repito)
este é um polinômio de variável complexa. Cardano
serve para resolver equações cúbicas de variável
real (possivelmente válido até se os coeficientes
forem complexos), que não é o caso aqui.
Não é a primeira vez que esta confusão acontece.
Será porque a variável usada é x (que induz a
pensar em números reais) em vez de z (como é
comum para números complexos)? Pensar em x como
um "vetor" de coordenadas cartesianas (a,b) ou
polares (|x|,arg(x)) ajuda o raciocínio.
Para os que (ainda) se interessarem no problema,
lembro que uma função de C em C tem como domínio
todo o plano de Argand, e a imagem será pelo
menos um subconjunto (não necessariamente contínuo) de todo o plano de Argand.
Neste caso, como a função é um polinômio de grau
3, cada ponto x do plano domínio é mapeado para
um ponto do plano imagem através das translações
e rotações provocadas pela potenciação de x e
pela multiplicação de x por números reais.
A questão inicial, então, é descobrir que região
do plano de Argand pode possuir raízes de P(x)=0.
Depois determinar a localização destes pontos
nesta região (em função de k, que é um número
real). E, finalmente, analisar a figura
geométrica descrita pelo deslocamento destes
pontos no plano de argand quando k varia entre 0 e +inf.
Exemplo do raciocínio da primeira parte: não
existe x tal que P(x)=0 na região do plano de
Argand definida por 0<=arg(x)<pi/4 porque neste
caso im(x)>0, im(x^2)>0 e im(x^3)>0, o que torna impossível que im(P(z))=0.
Como disse antes, consigo enxergar as regiões do
plano de Argand definidas por arg(z)=pi/2 (o
semi-eixo imaginário positivo, excluída a origem)
e por arg(z)=pi (o semi-eixo real negativo,
também excluída a origem) como candidatas a
hospedeiras das raízes de P(x)=0. Mas será que a
minha visão geométrica está correta e completa?
Ainda não desenvolvi a álgebra destes casos para
verificar se um, outro ou ambos são compatíveis
com P(x) (afinal de contas, estou fazendo isto
por puro diletantismo, e o tempo livre para
raciocinar livremente anda meio curto ;-)). Mas
continuo interessado em idéias a respeito.
[ ]'s
Esta questão foi da prova de álgebra do IME
1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado.
Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x
complexo e k real positivo. Desenhar no plano
complexo o lugar geométrico das raízes de
P(x)=0 para todos os valores possíveis de k.
Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x),
então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e
Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em
função de a e b que descrevessem o lugar
geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis.
Alguma outra idéia?
J. R. Smolka
