Luís, boa tarde!
Sua "humilde" solução está, infelizmente, errada!
Repare que, no 1º problema, não se sabe se a moeda falsa é mais leve ou mais
pesada do que as verdadeiras. Sabe-se APENAS que o seu peso é DIFERENTE do peso
das demais (verdadeiras), podendo - é claro - ser menor ou maior!
Já no 2º problema, sabe-se que o peso da moeda falsa é MAIOR do que o peso das
demais (verdadeiras).
Sds.,
AB
[EMAIL PROTECTED]
[EMAIL PROTECTED]
--- Em qui, 24/7/08, Luís Junior <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: Luís Junior <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: Re: [obm-l] Moedas: 2 problemas
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 24 de Julho de 2008, 13:52
Olá,
Este é o meu primeiro post nesta lista. Sou péssimo em matemática e entrei na
lista pq meu sonho era participar de uma olimpíada..
Eu sempre leio todos os posts mas quase sempre não entendo nada do que vcs
falam.
No caso dessa questão acho que posso dar uma contribuição :)
Humilde solução:
1 - Eu separaria as 12 moedas em 2 grupos: 10 + 2
2 - Peso grupo com 10 moedas (5 em cada prato), se a mais pesada nao estiver
nela (pratos equiparados), então estará no outro grupo e com mais uma operação
de pesagem determinamos a moeda mais pesada.
3 - Se os pratos nao estiverem equiparados então ela estará agora entre 5
moedas.
4 - Dessas 5 eu removo uma e peso duas em cada prato. Se os pratos se
equipararem a que eu retirei do grupo é a mais pesada. Se não, ela estará entre
agora num universo de 2 moedas. Com a 3ª pesagem determinamos a miseravi!
Espero que esteja tudo certinho, peço perdão pelo péssimo português e acho que
so resolvi pq é uma questão clássica :(
Espero ter contribuido.
Vou tentar agora o 2º problema mas concerteza ele está acima da minha
capacidade.
~Carpe Diem~
Luís
2008/7/24 Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]>:
Ah, droga, errei... troquem por favor o "12" do grupo 3 pelo "10". :)
2008/7/24 Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]>:
Rotule as moedas com os numeros de 1 a 15, mas escreva-os em binario com 4
algarismos cada: 0001, 0010, ..., 1111.
Separe as moedas em 4 grupos -- o grupo que tem 1 no primeiro digito, o que tem
1 no segundo digito, etc. Explictamente, em decimal, os grupos sao:
G1={8,9,10,11,12,13,14,15}
G2={4,5,6,7,12,13,14,15}
G3={2,3,6,7,11,12,14,15}
G4={1,3,5,7,9,11,13,15}
Agora verifique que grupos tem um peso "maior" que os outros, pois estes contem
a moeda falsa. A sua moeda falsa eh a unica que estah exatamente nos grupos
escolhidos.
Alias, monte um numero d1d2d3d4 fazendo di=1 se o grupo i eh mais pesado que os
outros, e di=0 caso o grupo i tenha peso "normal". A moeda falsa eh a
representada por d1d2d3d4 (em binario).
Ah, sim, note que, como HA uma moeda falsa, nao pode ser 0000; em outras
palavras, se voce der "azar" e todos os grupos tiverem o mesmo peso, voce
conclui que TODOS tem a moeda falsa, que eh a moeda 1111=15.
Note como deste jeito eh facil generalizar para 2^n-1 moedas e n pesagens!
Abraco,
Ralph
2008/7/23 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>:
Olá!
1º PROBLEMA:
Acredito que quase todos vocês já conheçam o problema "12 (ou 13) moedas / 1
moeda falsa (+ leve OU + pesada) / balança de comparação". Seu enunciado é o
seguinte:
Considere uma coleção de 12 (pode, até, ser de 13) moedas – uma delas é falsa.
A única diferença entre a moeda falsa, em relação às demais, é que o seu peso é
DIFERENTE, isto é, pode ser MAIOR, ou MENOR, do que o peso das moedas
verdadeiras.
Todas as moedas verdadeiras têm o mesmo peso. Todas as moedas – inclusive a
falsa – são aparentemente iguais.
Dispondo de uma balança de comparação (balança de dois pratos), pede-se
determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 3 vezes.
Reparem que se dispõe apenas de uma balança de comparação (i.e., uma balança de
dois pratos).
Este é um problema simples, cuja solução, entretanto, requer bastante
inteligência. Aqueles que não o conhecem podem tentar resolvê-lo.
2º PROBLEMA:
Outro dia, um aluno me propôs um problema similar e, também, bastante
interessante: "15 moedas / 1 moeda falsa (+ pesada) / 1 balança eletrônica".
Segue, abaixo, seu enunciado:
Considere uma coleção de 15 moedas – uma delas é falsa. A única diferença entre
a moeda falsa e as demais é que ela é mais pesada.
As 14 moedas verdadeiras têm o mesmo peso. As 15 moedas são aparentemente
iguais.
Dispondo de uma balança eletrônica (destas que fornecem o peso com exatidão),
pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 4
vezes.
Reparem que se dispõe apenas de uma balança eletrônica, isto é, de um único
prato. Este tipo de balança indica o valor numérico do peso de uma determinada
massa (no caso "n" moedas), colocada sobre o seu prato.
Nota: a divisão (quebra) de qualquer moeda não é permitida.
Bem, só consegui resolver este problema de uma forma MUITO complicada. Resolvi,
então, propô-lo a vocês para saber se alguém conhece, ou descobre, uma solução
mais simples.
Saudações,
AB.
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