Olá Cláudio,
Una os pontos médios MNP. Este triângulo é semelhante ao triângulo ABC, com
seus lados sendo a metade dos lados deste triângulo.Agora prolongue ainda mais
as mediatrizes traçadas, de modo que todas tenham o mesmo tamanho das
alturas em relação as quais são paralelas.
Os lados do triângulo MNP cortam as alturas nos seus pontos médios e,
consequentemente, também irão interceptar as mediatrizes em seus pontos médios.
Assim, os lados do triângulo MNP irão conter os pontos X,Y e Z, sendo estes
pontos os pés das alturas do triângulo MNP. Ou seja, o triângulo XYZ é o
triângulo órtico do triângulo MNP. Como MNP é semelhante a ABC, XYZ é
semelhante a MNP.
Abs
Felipe
--- Em ter, 19/8/08, Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] semelhança de triângulos
Para: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 19 de Agosto de 2008, 20:40
Oi.
Gostaria de ajuda no problema abaixo. Se for possível, dando a solução usando
apenas argumenos de geometria plana (sem auxílio de complexos ou analítica).
- Sejam M, N e P os pontos médios dos lados de um triângulo ABC acutângulo de
circuncentro O. Prolongue MO, NO e PO, a partir de O, até X, Y e Z,
respectivamente, tais que MX, NY e PZ tenham comprimentos respectivamente
iguais às metades das alturas do triângulo a partir dos vértices A, B e C.
Prove que o triângulo XYZ é semelhante ao triângulo órtico de ABC.
Obrigado.
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