Acho que vc confundiu a construção, pois o segmento MX é exterior ao
triângulo, logo X é exterior tanto a ABC quanto a MNP.
Abraço.
--- Em qui, 21/8/08, luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: luiz silva <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]
semelhança de triângulos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 21 de Agosto de 2008, 8:13
Cláudio,
Eu não entendi muito bem seu raciocínio, mas considere M pertencendo a BC,
No enunciado do problema, prolonga-se, a partir de O, o segmento MO em OX. Tal
que MX = 1/2 altura traçada do vértice A.
O segmento NP é a base média do triângulo ABC, e dessa forma ele divide qqer
ceviana do triângulo em segmentos iguais. Assim, o pontomédio da altura
relativa a A esta no segmento NP. Como MX é paralelo a altura e com metade do
seu comprimento, então X estará tb em NP e MX será perependicular a NP. Como
isso vale para X,Y e Z, temos que estes pontos são os pés das alturas (que são
os vértices dos triângulos órticos) do triângulo MNP, que é semelhante a ABC.
Assim, XYZ é semelhante ao triângulo órtico de ABC.
Abs
Felipe
--- Em qua, 20/8/08, Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] semelhança de
triângulos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 20 de Agosto de 2008, 20:45
Olá.
Bom:
1) X, Y e Z são os pontos médios das mediatrizes prolongadas? Vejamos, pois
prolongamos OM em MX, então ficamos com o segmento OX que pertence à mediatriz
do lado BC.
2) X, Y e Z são os pés das alturas de MNP? Na verdade os pontos X, Y e Z não
pertencem aos segmentos MN, NP e PM. O triângulo XYZ não pode ser o órtico de
MNP pq ele é maior. Na verdade ele é semelhante ao órtico de MNP, mas isso é o
que o problema quer.
Abraço.
--- Em qua, 20/8/08, luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: luiz silva <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] semelhança de triângulos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 20 de Agosto de 2008, 16:10
Com relação ao 1o. questionamento, é isso mesmo, mas temos que provar que a
interseção dos lados do triângulo MNP com as mediatrizes são os pontos XYZ. E
isso se dá, pq X, Y e Z tb são pontos médios das "mediatrizes prolongadas" com
igual comprimento das alturas com relação as quais são paralelas (ficou
confuso...mas desenhe e veja se fica mais claro).
Qto ao segundo questionamento, foi erro de escrita. Na realidade, o correto é :
Como ABC é semelhante a MNP e XYZ são os pés das alturas de MNP (ou seja XYZ é
o triângulo órtico de MNP), então XYZ é semelhante ao triângulo órtico de ABC.
Não sei se me fiz entender.
Abs
Felipe
--- Em qua, 20/8/08, Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] semelhança de triângulos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 20 de Agosto de 2008, 11:38
Oi Felipe.
Obrigado pela solução, mas não entendi algumas partes que vou escrever. Se
for possível, vc poderia esclarecer para mim.
- "Os lados do triângulo MNP cortam as alturas nos seus pontos médios e,
consequentemente, também irão interceptar as mediatrizes em seus pontos médios."
Mas as interseções das mediatrizes com o triângulo MNP não são os próprios
vértices M, N e P?
- "Como MNP é semelhante a ABC, XYZ é semelhante a MNP."
O triângulo MNP realmente é semelhante ao ABC, logo possuem todos os ângulos
iguais (sejam eles A, B e C). Mas se XYZ é semelhante a MNP e MNP a ABC, pela
transitividade XYZ seria semelhante a ABC. O problema pede para demosntrar que
XYZ é semelhante ao órtico de ABC, que tem ângulos iguais a 180-2A, 180-2B e
180-2C, respectivamente. Se XYZ é semelhante a MNP temos um caso particular de
um triângulo ABC equilátero.
Obrigado.
Abraços,
Claudio Gustavo.
--- Em qua, 20/8/08, luiz silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: luiz silva <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] semelhança de triângulos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 20 de Agosto de 2008, 9:21
Olá Cláudio,
Una os pontos médios MNP. Este triângulo é semelhante ao triângulo ABC, com
seus lados sendo a metade dos lados deste triângulo.Agora prolongue ainda mais
as mediatrizes traçadas, de modo que todas tenham o mesmo tamanho das
alturas em relação as quais são paralelas.
Os lados do triângulo MNP cortam as alturas nos seus pontos médios e,
consequentemente, também irão interceptar as mediatrizes em seus pontos médios.
Assim, os lados do triângulo MNP irão conter os pontos X,Y e Z, sendo estes
pontos os pés das alturas do triângulo MNP. Ou seja, o triângulo XYZ é o
triângulo órtico do triângulo MNP. Como MNP é semelhante a ABC, XYZ é
semelhante a MNP.
Abs
Felipe
--- Em ter, 19/8/08, Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] semelhança de triângulos
Para: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 19 de Agosto de 2008, 20:40
Oi.
Gostaria de ajuda no problema abaixo. Se for possível, dando a solução usando
apenas argumenos de geometria plana (sem auxílio de complexos ou analítica).
- Sejam M, N e P os pontos médios dos lados de um triângulo ABC acutângulo de
circuncentro O. Prolongue MO, NO e PO, a partir de O, até X, Y e Z,
respectivamente, tais que MX, NY e PZ tenham comprimentos respectivamente
iguais às metades das alturas do triângulo a partir dos vértices A, B e C.
Prove que o triângulo XYZ é semelhante ao triângulo órtico de ABC.
Obrigado.
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