Argh, escrevi uma besteira! Tem um erro no meu raciocínio, no denominador
daquela probabilidade!
Explico: do jeito que eu estava pensando no problema, **não interessa** de
quantos jeitos a CEF pode sortear as bolinhas -- eu estava fingindo que eles
**já sortearam** as r bolinhas, e a gente tem que descobrir de quantas
maneiras EU posso fazer a minha cartelinha de maneira que EU acerte s
palpites. Bom, EU tenho C(N,p) maneiras de fazer minha cartelinha, então o
denominador é C(N,p); como EU tenho que escolher s das r sorteadas, e p-s
das N-r não sorteadas, temos:
Prob(N,r,p,s) = C(N-r,p-s).C(r,s)/C(N,p) (agora com denominador correto!)
Antes que alguém reclame, existe sim uma segunda maneira de pensar, que é
assim: eu JÁ FIZ a minha cartelinha com p palpites, e agora a CEF é que vai
sortear r bolinhas. ELES é que tem que acertar exatamente s das MINHAS
bolinhas. Bom, se você pensar assim, então, agora sim, eles têm, C(N,r)
possibilidades de sorteio e este é o denominador... mas, para ELES
acertarem exatamente s bolinhas das minhas, ELES tem que sortear s das p da
minha cartelinha, e ELES têm que sortear as outras r-s das N-p que eu não
escolhi. Então a probabilidade é:
Prob = C(p,s).C(N-p,r-s)/C(N,r)
É "divertido" escrever tudo em forma de fatoriais e notar que ambas as
fórmulas são, de fato, a mesma coisa. Ler ambos os raciocínios é legal, pois
eles mostram que os papéis de p e s são "intercambiáveis" -- há N=100
bolinhas no total, e você quer acertar s=7; então tanto faz você fazer uma
cartelinha com 15 e eles sortearem 10 ou você fazer uma cartelinha com 10 e
eles sortearem 15, a chance de você acertar 7 é a mesma!
Para ajudar a lembrar tais fórmulas, note que a soma dos dois "primeiros
índices" das combinações do numerador dá o "primeiro índice" da combinação
do denominador, e o mesmo para os "segundos índices". Em suma, (N-r)+r=N e
(p-s)+s=p na primeira fórmula, ou p+(N-p)=N e s+(r-s)=r na segunda fórmula.
Quando eu fiz seu problema, eu conferi isso na resposta numérica (que está
correta por acidente, pois p=r no seu problema), mas esqueci de conferir na
minha resposta com letrinhas!
Abraço,
Ralph
2008/10/7 jose silva <[EMAIL PROTECTED]>
> Valeu! Parabens! Essa questao era mais interessante do que eu
> imaginava!
> Como eu havia dito: parece dificil, mas nao e facil.
> Muito obrigado!
> jccardosos
>
>
> ------------------------------
>
> Date: Tue, 7 Oct 2008 20:27:10 -0300
> From: [EMAIL PROTECTED]
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade!
>
>
> A palavra chave para procurar no Google eh "distribuicao hipergeometrica"
> (hypergometric distribution). Funciona assim:
>
> Suponha que ha N bolas numeradas numa caixa, das quais r serao sorteadas
> (digamos, pela CEF); voce faz uma escolha de p delas. Qual a chance de
> acertar exatamente s? (Eh, tem 4 variaveis ai: N,p,r,s)
>
> Resposta: sao C(N,r) possibilidades de sorteio pela CEF. Para voce acertar
> EXATAMENTE s, voce "tem" que escolher s das r sorteadas E "TEM" QUE ESCOLHER
> p-s DAS N-r NAO SORTEADAS (eh isto que estah faltando nas outras solucoes).
> Entao a resposta eh:
>
> Prob(Acertar exatamente s) = C(N-r,p-s).C(r,s) / C(N,r) (ARGH! NÃO É r
> AQUI EMBAIXO NÃO!!!!!)
>
> Para N=25, r=15, p=15 e s=11, que eh o caso que voce propoe, dah:
>
> Prob = C(10,4).C(15,11) / C(25,15) = ...
>
> Abraco,
> Ralph
>
> 2008/10/7 jose silva <[EMAIL PROTECTED]>
>
> Concordo com a soluçao do amigo Jose Airton, porem a soluçao nao
> esta batendo, por exemplo de acertar 11 numeros e igual a 1/11, conforme
> esta disponivel no endereço:
> www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/lotofacil/probabilidades.asp .
> jccardosos
>
> ------------------------------
>
> Date: Sat, 4 Oct 2008 12:15:10 -0300
> From: [EMAIL PROTECTED]
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade!
>
> Jose Airton e Leandro,
>
> Foi mal. Eu, equivocadamente, imagnei que as perguntas fossem qual a
> probabilidade de "ALGUM dos alunos" e não "de UM qualquer" dos alunos...
> Bobeira,
> Nehab
>
> JOSE AIRTON CARNEIRO escreveu:
>
> José vou te quebrar o galho.
> Para acertar as 15: P(A) = n(A)/n(U) = C15,15 / C25,15 = 1/3268760.
> Para acertar 14 : P(A) = C15,14 / C25,15.
> Para 13 P(A) = C15,13 /C25,15 e assim por diante ..
>
>
> 2008/10/2, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> Oi, Leandro.
> Quantos alunos?
> Nehab
>
> LEANDRO L RECOVA escreveu:
>
> Acho que voce resolve isso usando a distribuicao binomial.
>
> From: jose silva <[EMAIL PROTECTED]> <[EMAIL PROTECTED]>
> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br> <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Subject: [obm-l] Probabilidade!
> Date: Thu, 2 Oct 2008 02:45:49 +0000
>
> Em uma escola é feita uma atividade lúdica, envolvendo a aplicação de
> probabilidades. Durante a aula, coloca-se dentro de uma urna, 25 bolas
> marcadas com os números de 1 a 25. Em seguida, são distribuídos entre os
> alunos cartelas contendo estes números, em ordem crescente, ou seja, do
> número 1 ao 25. Após isso, pedem-se aos alunos para marcarem 15 números
> aleatoriamente, nesta cartela. Feito isso, qual a probabilidade de após a
> retirada aleatória e sem reposição, de 15 bolas consecutivas desta urna, de
> um dos estudantes acertar os 15 números? De um dos alunos acertar 14 ou 13
> ou 12 ou 11 números?
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=========================================================================
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