Oi, Vitório.
Realmente, este não é o menor caminho. Faça um desenho cuidadoso com
A, B, C, P e Q e um caminho *qualquer* PXYQ onde X está em BC e Y em
AC.
Agora seja P' o simétrico de P com relação a BC e seja Q' o simétrico
de Q com relação a AC.
Como PX=P´X e QY=Q'Y, afirmo que os comprimentos de PXYQ e de P'XYQ'
são iguais, certo? Então achar um caminho que minimize o comprimento
PXYQ (tocando BC em X e AC em Y) é o mesmo que achar um caminho que
minimize o comprimento P'XYQ' (tocando BC em X e AC em Y).
Mas note que QUALQUER CAMINHO DE P' A Q' TOCA AS RETAS BC E AC. Em
suma, basta minimizar o caminho de P' a Q', sem se preocupar em tocar
os lados, pois eles serão tocados automaticamente (bom, tecnicamente,
toca **as retas** que suportam os lados, mas isso serve).
Então agora pergunto: como achar o menor caminho que liga os dois
pontos P' e Q' ? Pois é, o comprimento x desejado é simplesmente a
distância de P' a Q' -- você pode calculá-la usando a lei dos cossenos
no triângulo P'AQ', por exemplo, acho que sai rápido assim. Acho que
dá x^2=1300.
Abraço,
Ralph
2009/1/23 <vitorioga...@uol.com.br>:
>
> Um garoto está no ponto P de um jardim cujo formato é o de um triângulo
> equilátero. Ele deve encostar em duas cercas desse jardim e depois chegar a
> um ponto Q. Supondo que o triângulo equilátero tem vértices A, B e C, que o
> ponto P é o baricentro do triângulo ABC e que o ponto Q é o ponto médio
> entre P e A, o menor percurso que o garoto pode fazer para sair de P,
> encostar na cerca BC, depois na cerca AC e chegar ao ponto Q tem comprimento
> x.
> Qual o valor do quadrado de x, se a distância entre P e Q mede 10 metros?
>
> Olha a minha solução:
> PA = 2/3 de AM, onde M é o ponto médio do lado BC.
> Então, como PQ = QA , PA = 20 cm.
> AM = (3*20)/2 = 30 cm. AM é mediana, altura e bissetriz interna de ABC.
> Assim, PM = 10 cm. Temos a primeira medida, pois ele parte de P e toca o
> lado BC.
> Seja N o ponto médio do lado AC. a segunda medida será enontrada pelo valor
> de MN. Ora, MN é o lado do triângulo órtico , que também é equilátero e
> cujos vértices são MNR, onde R é o ponto médio do lado AB.
> Por outro lado, NR é base média de ABC e lado de MNR.
> valor do lado de ABC :
> (L*R[3])/2 = 30 --> L=20R[3] cm
> valor do lado de MNR :
> L´ = L/2 = 10R[3] cm = MN
> Então, já temos duas medidas cuja soma é:
> (10+10R[3]) cm
> A terceira medida será a hipotenusa QN do triângulo NQS, onde S é o ponto
> médio de AM, e também a intersecção entre AM e NR.
> SN = L´/2 = 10R[3]/2= 5R[3] cm
> Ora, QN = 5 cm
> Por Pitágoras em NQS:
> QN^2 = SN^2 + NQ^2
> QN^2 = (5R[3])^2 + 5^2
> QN^2 = 75 + 25 = 100
> QN = 10 cm
> Então, D, a distância pedida é:
> D= (10+10+10R[3]) cm
> D = 20 + 10R[3]
> Foi pedido D^2:
> D^2 = (20 + 10R[3])^2
> D^2 = 400 + 400R[3] + 300
> D^2 = 700+400R[3]
> D^2 = 700+693 = 1393 cm
>
> .........porém fiz no CABRI e achei medidas menores.......esse menor
> percurso........sei n ão
>
> Grato pela ajuda
>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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