Suponha que raiz de 2 fosse racional. Isto é raiz(2) = a/b, a e b inteiros, suponha também que essa fração já esteja na forma mais simples possível, se não estiver coloque-a! :)
Eleve ao quadrado ambos os membros logo 2*(b^2) = a^2, isto é a^2 é par, logo a também é par (é fácil provar isso). Se a é par então existe m tal que a = 2m, daí 2*(b^2) = 4(m^2) => b^2 = 2(m^2), logo b^2 também é par e então b é par. Portanto a e b são pares o que contraria a nossa hipótese de que a fração já estava na forma mais simples possível. Conclusão: raiz(2) é Irracional Abraços, Denisson 2009/4/1 Albert Bouskela <bousk...@ymail.com> > Olá! > > > > A demonstração abaixo é atribuída a Euclides, lá por volta de 300aC. Tenho > cá minhas dúvidas: o conceito de racionais e irracionais (sua união sendo os > reais) é muito mais moderno. Então, de fato, não dá pra saber como era mesmo > essa tal demonstração de Euclides. O certo é que ele chegou à > (brilhantíssima) conclusão de que sqrt(2) era incomensurável. Euclides > queria dizer com isto que não era possível expressar a raiz de 2 por > intermédio de um número que pudesse ser medido, i.e., que pudesse ser > representado geometricamente pela proporção de duas grandezas (medidas). > > > > E isto deu uma baita confusão! Ainda mais quando descobriram o triângulo > retângulo 1, 1, sqrt(2). > > > > Muito menos Euclides sabia da consistência lógica de uma prova matemática > feita “por absurdo”. > > > > Mas o mais interessante é que o Kronecker (que descobriu até a função – não > é rigorosamente uma “função” – Delta de Kronecker), já no finalzinho do > Século XIX, não acreditava em nada disto! Para ele, os irracionais > simplesmente não existiam. Acho que o Kronecker (filho de judeus, mas > protestante fervoroso) estava mais é com vontade de implicar com o > depressivo Cantor (judeu e cabalista), que adorava (divinamente) os > irracionais. É do Kronecker a frase: “Deus criou só os números inteiros. > Todo o resto é invenção do homem!”. > > > > Tudo isto culminou no seguinte: > > > > Tome a reta orientada dos racionais. Sobre esta reta tome um segmento de > comprimento unitário. Em uma das duas extremidades deste segmento levante > uma perpendicular. Nesta perpendicular, tome um outro segmento unitário a > partir a reta orientada dos racionais. Una a outra extremidade do segmento > contido na reta dos racionais com a extremidade mais distante do segmento > contido na reta perpendicular. Aí está o triângulo retângulo 1, 1, sqrt(2). > Agora, com centro na extremidade da hipotenusa que está contida na reta dos > racionais, gire esta mesma hipotenusa (em qualquer sentido) até que ela > fique totalmente contida na reta dos racionais. > > > > Tchan! Tchan! Tchan! > > > > Pois bem, a extremidade da hipotenusa (a que não é o centro de giro) cairá > sobre o “vazio” – afinal sqrt(2) é irracional! Então, o conjunto dos > racionais é denso, mas não é contínuo! > > > > Quando eu estiver mais inspirado (e com muito mais tempo) – o Gödel que me > perdoe – mas ainda vou provar a Hipótese do Continuum... > > > > Saudações, > > *AB* > > bousk...@gmail.com > > bousk...@ymail.com > > > > *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On > Behalf Of *Paulo Cesar > *Sent:* Wednesday, April 01, 2009 3:44 PM > *To:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Provar que raiz de 2 não é racional. > > > > Olá Rodrigo > > > > Suponha que a raiz quadrada de 2 (sqrt2) é racional. Logo, podemos escrever > sqrt2 = a/b, com a e b inteiros e b diferente de zero. Elevando ambos os > membros ao quadrado teremos 2 = a^2/b^2 e consequentemente 2b^2 = a^2. Essa > última igualdade é um absurdo, pois o Teorema Fundamental da Aritmética nos > garante que a fatoração de um número inteiro é única. Olhando para o > primeiro membro, temos que 2b^2 possui um número ímpar de fatores 2. Já o > segundo membro nos diz que a^2 tem que possuir um número par de fatores 2. > Conclusão: sqrt2 não é racional, cqd. > > > > Bons estudos > > > > PC > > 2009/4/1 Rodrigo Assis <rossoas...@gmail.com> > > Pessoal não estou conseguindo resolver. O problema pede que seja feito > através do Teorema Fundamental da Aritmética. Já tentei 2 vezes e nada... > > > -- Denisson
