> Olá! > > SE a série é convergente, ENTÃO é válido aplicar os diversos operadores > (aritméticos, algébricos, diferenciais, integrais...) nos seus termos. O > grande Euler, o Cauchy e o Weierstrass usaram e abusaram disto. Aliás, foi > assim que o Euler provou a sua mais do que famosa identidade: e^(i*pi) + 1 > = 0 . > > Vou lhe mostrar o que eles fizeram - repare o tamanho do abuso! > > Suponha que seja sabido que: > > e = lim [n-->+oo] [ (1+1/n)^n ] = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... > > Daí: e^x = lim [n-->+oo] [ (1+x/n)^n ] = 1 + x/1! + (x^2)/2! + (x^3)/3! + > ... > > Aí, os caras mandaram a seguinte extrapolação: > > e^z = lim [n-->+oo] [ (1+z/n)^n ] = 1 + z/1! + (z^2)/2! + (z^3)/3! + ... , > sendo "z" um complexo - que barbaridade!!! > > Esta série, acredite, converge para qualquer "z" e pode ser diferenciada > termo a termo, exatamente como um polinômio ordinário e finito. Todas > (TODAS!) as propriedade de "e^z" podem ser deduzidas através da série > indicada acima. > > Logo, e^(i*pi) = -1 > > Sabe o que é ainda mais bacana (que gíria mais velha!)? Através desta mesma > série, pode-se demonstrar que a função "e^z" é periódica, sendo seu > período igual a 2*pi*i (imaginário!). Claro: e^(i*theta) = cis(theta) > e "cis(theta)" é periódica! Gostou? Sei lá... "e^x" é monotonamente > crescente e "e^z" é periódica !? Um bom exercício é arrumar uma explicação > conceitual para isto - garanto-lhe que não é muito difícil! > > Sds., > Albert Bouskela > bousk...@msn.com > > > -----Original Message----- > > From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] > > On Behalf Of Luís Lopes > > Sent: Tuesday, May 05, 2009 5:36 PM > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Subject: RE: [obm-l] serie para ln(2) > > > > Sauda,c~oes, > > Oi Paulo e para os outros três que responderam, > > > > Então de > > > > 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) > > > > posso fazer > > > > [1 - (1/2)] + [1/3 - (1/4)] + [1/5 - (1/6)] + ... e obter > > o mesmo resultado?? Sempre, ou seja, posso botar [ ] > > à vontade em séries cond. convergentes? > > > > Ando sempre em águas turvas com estas manipulações de > > séries cond. conv. > > > > P.S.: Paulo, o Rousseau acabou de me "dizer" que encontrou > > uma solução para aquela conjectura. Mas não a tenho. > > Obrigado pelo seu email a respeito. Muito trabalho nele. > > > > []'s > > Luís > > > > > > > > From: paulo.santar...@gmail.com > > > > Date: Mon, 4 May 2009 18:22:28 -0300 > > > > Subject: Re: [obm-l] serie para ln(2) > > > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > > > > > > Ola Luis e demais colegas > > > > desta lista ... OBM-L, > > > > > > > > A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: > > > > > > > > 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) > > > > > > > > Assim, para n=1, 2, 3, ... > > > > > > > > 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) > > > > > > > > De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao > > > > > > > > soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k>=2 > > > > Tambem permite uma "olhada especial" de onde deriva sua soma. Como > > fazer isso ? > > > > > > > > Exemplo : > > > > > > > > 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) > > > > Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde "r" e > > > > a razao da PA > > > > > > > > Agora, considere o seguinte : > > > > > > > > Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) > > > > > > > > Nos "olhar" esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos > > > > de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal "-" e em cada > > > > posicao impar ha um sinal "+". Representarei este fato com a notacao S > > > > (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. > > > > > > > > O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais "+" sempre seguem 3 > > > > sinais "-", assim : > > > > > > > > S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - > (1/8)-(1/9)-(1/10)+... > > > > > > > > Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como > > > > provar isso ? > > > > > > > > Um Abraco a Todos > > > > PSR, 20405091800 > > > > > > > > > > > > 2009/5/4 Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com>: > > > > > Sauda,c~oes, > > > > > > > > > > No meio de vários <reply> ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! > > > > > encontrei a seguinte mensagem: > > > > > > > > > >> [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???) > > > > >> Albert Bouskela > > > > >> Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 > > > > >> Amigos: > > > > >> > > > > >> Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, > aí vai > > > > >> o > > > > >> segundo: > > > > > > > > > > [...] > > > > > > > > > > > > > > >> E, assim, "demonstra-se" que 0 > 1/2 (???) > > > > >> > > > > >> Onde está o erro? > > > > >> > > > > >> Uma curiosidade: > > > > >> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = > ln(2) = > > > > >> 0,69 > > > > > >> 1/2 > > > > > > > > > > [...] > > > > > > > > > > Como demonstrar a curiosidade acima? > > > > > > > > > > []'s > > > > > Luís > > > > > > > > > > > > > > > ________________________________ > > > > > Conheça os novos produtos Windows Live. 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