Sobre o problema C do Ralph, em que eu tentei por todas as informações necessáias, pra quem pegar a conversa no meio não ter que ficar adivinhando algumas coisas.
PROBLEMA C Temos inicialmente 3 caixas, caixa 1 com 2 moedas de ouro (O1O2), caixa com 2 moedas de prata (P1P2), e caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3). Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda, que eh reposta na sua caixa (ou não, pois não faz diferença). Novamente, escolhe-se uma caixa ao acaso, DIFERENTE da primeira caixa, e retira-se uma SEGUNDA moeda. Sabendo que a primeira moeda eh de ouro, qual a chance de a segunda ser de ouro tambem? --------------------------------- Bom, no caso as possibilidades de se tirar duas moedas de ouro são: o1o3 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (escolho caixa 1, escolho o1; escolho caixa 2, escolho o3) o3o1 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido) o2o3 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido) o3o2 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido) Somando tudo, dá 1/3 * 1/8 * 4 = 1/6 Daí, ainda usando as nomenclaturas do Ralph, P(OO|OX) = 1/6 / 1/2 = 1/3. Vejam aí se não errei alguma coisa. Enfim, Ralph, com a sua explicação sobre o PROBLEMA B, acho que ficou bem mais fácil. Aliás, só para te encorajar a continuar: eu aposto que bastante gente lê os e-mails que você escreve, inclusive aqueles em que você diz algo como "Talvez ninguém leia isso". Aprendi bastante coisa de combinatória com você. Obrigado mesmo! > Date: Wed, 15 Jul 2009 04:19:40 -0300 > Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado) > From: ralp...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Oi, Claudio. > > Explica um pouquinho melhor a variacao que voce estah pedindo.... Digo > isso porque, no problema original, nao ha uma segunda moeda sendo > RETIRADA. No original, a pergunta eh "se a moeda retirada eh de ouro, > qual a chance de a outra moeda DESTA MESMA CAIXA ser de ouro tambem?". > Ela nem retirada eh.... > > Se voce vai retirar uma segunda moeda, tem de explicar COMO a segunda > retirada eh feita. Entao vejamos: temos inicialmente 3 caixas, caixa 1 > com 2 moedas de ouro (O1O2), caixa com 2 moedas de prata (P1P2), e > caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3). > > PROBLEMA A: Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda, > que eh reposta na sua caixa. Novamente, escolhe-se uma caixa ao acaso, > independentemente da primeira escolha, e retira-se uma SEGUNDA moeda. > Sabendo que a primeira eh de ouro, qual a chance de a segunda ser de > ouro tambem? > RESPOSTA: Retiradas independentes, entao a informacao da primeira > moeda nao diz nada. Resposta 3/6=1/2. > > PROBLEMA B: Idem ao A, mas a primeira moeda nao eh reposta. > RESPOSTA: Fica melhor se desenhar uma arvore com quase 36 ramos... > Bom: ha 6 maneiras de tirar duas moedas de ouro: O1O2, O2O1, O1O3, > O2O3, O3O1, O3O2. As duas primeiras somam 1/9 (escolher caixa 1 duas > vezes); as duas proximas somam 1/3.1/3.1/2 (caixa 1, depois caixa 2, > moeda O3); e a terceira tem probabilidade 1/3.1/2.1/3. Somando tudo, > Pr(OO)=2/9. > Agora, a probabilidade da primeira moeda ser de ouro eh 1/2. Entao, a > probabilidade pedida eh Pr(OO|OX)=(2/9)/(1/2)=4/9. > Outra maneira de fazer: a primeira moeda veio da caixa com OO com 2/3 > de chance; neste caso, a chance da segunda ser O eh 1/3+1/3.1/2=1/2 > (na segunda retirada, 1/3 de pegar a mesma caixa, e 1/3 de pegar a > caixa OP). Se a primeira veio de OP, a segunda soh eh se voce > escolher a caixa OO, isto eh, 1/3 de chance. Juntando tudo: > Pr(OO|OX)=2/3.1/2+1/3.1/3=4/9 > > PROBLEMA C: A segunda caixa TEM DE SER DIFERENTE DA PRIMEIRA; neste > caso nao faz diferenca se a primeira moeda eh reposta ou nao.... Deixo > esse pra voces. Resposta: 2/3.1/4+1/3.1/2=1/3. > > Abraco, Ralph. > > 2009/7/14 Claudio Dias <claudiomd...@hotmail.com>: > > Oi, Walter. > > > > O problema original é dessa forma( resposta 2/3). Ele acaba induzindo a > > mesma caixa. Mas se não tivesse que ser da mesma caixa. Explo. a primeira > > retirada era da segunda caixa e a segunda da primeira ou a primeira retirada > > é da caixa 1 e a segunda da caixa 2. Esse foi o questionamento. > > > > ________________________________ > > Date: Tue, 14 Jul 2009 21:22:18 -0300 > > Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand > > (adaptado) > > From: wtade...@gmail.com > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > > Oi, Claudio > > > > A pergunta não se resumiria em "Se a moeda selecionada é de ouro, qual a > > probilidade de ser da caixa 1?". > > Tentei fazer a árvore e saiu assim: > > > > Ramo 1: P(cx1).P(ouro) = (1/3). (1) (seleciona a caixa 1 e sempre sai ouro) > > Ramo 2: P(c2).P(ouro) = (1/3).(1/2) (seleciona a caixa 2 e sai um ouro com) > > Ramo 3: P(cx3).P(ouro) = (1/3).(0) (seleciona a caixa 3 e não tem ouro) > > > > P(ouro) = (1/3).(1)+(1/3).(1/2) = 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2 > > P(cx1/ouro) = P(cx1 e ouro)/P(ouro) = (1/3)/(1/2) =2/3 > > > > Fiz besteira? > > > > Abraços > > > > 2009/7/14 Fabio Bernardo <prof_fabioberna...@yahoo.com.br> > > > > Vc só esqueceu de postar o problema... Rs... > > > > ----- Original Message ----- > > From: Claudio Dias > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Sent: Tuesday, July 14, 2009 12:28 PM > > Subject: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand (adaptado) > > Caros colegas da lista. > > > > Essa semana me deparei com o problema de probabilidade sobre as moedas de > > Bertrand. No momento da sua resolução, fui questionado sobre a possibilidade > > da segunda moeda, não necessariamente, ser da mesma caixa. Pensei em > > trabalhar a probabilidade condicional na união das três caixas ( C1 U C2 U > > C3 ), ou seja, P(C1 U C2 U C3 / O). Achei 8/9. É possível? > > Tentei fazer uma árvore e não obtive esse resultado. > > > > Desde já, agradeço a oportunidade de discussão. > > > > Claudio Dias > > > > > > > > > > ________________________________ > > Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! > > > > > > -- > > > > > > ________________________________ > > Quer uma internet mais segura? Baixe agora o novo Internet Explorer 8. 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