Oi, Pedro.
Sua solucao me parece clara, limpa e correta. Eu passei um tempo aqui
procurando o erro da minha, jah que eu tinha feito do jeito complicado
e nao natural (tipo "esvazie o balde e recaia no caso anterior", para
quem conhece a piada). Levei varios minutos ateh perceber que as
nossas respostas NAO sao diferentes... :P :P :P :P
(E obrigado, eh sempre bom saber que alguem le minhas... prolixidades...)
Abraco,
Ralph (de Bremen, onde ontem vimos o Tao, o Yoccoz, o
Bollobas, o Gowers, o
Lovasz, o Smirnov, e o Reiher, todos no palco ao mesmo tempo)
P.S.: Acho que vou colocar no meu sig "Talvez *alguem* leia isso." :)
2009/7/20 Pedro Cardoso <pedrolaz...@hotmail.com>:
>
> Sobre o problema C do Ralph, em que eu tentei por todas as informações
> necessáias,
> pra quem pegar a conversa no meio não ter que ficar adivinhando algumas
> coisas.
>
> PROBLEMA C
>
> Temos inicialmente 3 caixas,
> caixa 1 com 2 moedas de ouro (O1O2),
> caixa com 2 moedas de prata (P1P2),
> e caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3).
>
> Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda,
> que eh reposta na sua caixa (ou não, pois não faz diferença). Novamente,
> escolhe-se uma caixa ao acaso, DIFERENTE da primeira caixa, e retira-se uma
> SEGUNDA moeda. Sabendo que a primeira moeda eh de ouro, qual a chance de a
> segunda ser de ouro tambem?
>
> ---------------------------------
>
> Bom, no caso as possibilidades de se tirar duas moedas de ouro são:
>
> o1o3 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (escolho caixa 1, escolho o1; escolho caixa 2,
> escolho o3)
> o3o1 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)
> o2o3 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)
> o3o2 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)
>
> Somando tudo, dá 1/3 * 1/8 * 4 = 1/6
> Daí, ainda usando as nomenclaturas do Ralph,
>
> P(OO|OX) = 1/6 / 1/2 = 1/3.
>
> Vejam aí se não errei alguma coisa.
>
> Enfim, Ralph, com a sua explicação sobre o PROBLEMA B, acho que ficou
> bem mais fácil.
>
> Aliás, só para te encorajar a continuar: eu aposto que bastante
> gente lê os e-mails que você escreve, inclusive aqueles em que você diz algo
> como
> "Talvez ninguém leia isso". Aprendi bastante coisa de combinatória com
> você. Obrigado mesmo!
>
>
>> Date: Wed, 15 Jul 2009 04:19:40 -0300
>> Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand
>> (adaptado)
>> From: ralp...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Oi, Claudio.
>>
>> Explica um pouquinho melhor a variacao que voce estah pedindo.... Digo
>> isso porque, no problema original, nao ha uma segunda moeda sendo
>> RETIRADA. No original, a pergunta eh "se a moeda retirada eh de ouro,
>> qual a chance de a outra moeda DESTA MESMA CAIXA ser de ouro tambem?".
>> Ela nem retirada eh....
>>
>> Se voce vai retirar uma segunda moeda, tem de explicar COMO a segunda
>> retirada eh feita. Entao vejamos: temos inicialmente 3 caixas, caixa 1
>> com 2 moedas de ouro (O1O2), caixa com 2 moedas de prata (P1P2), e
>> caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3).
>>
>> PROBLEMA A: Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda,
>> que eh reposta na sua caixa. Novamente, escolhe-se uma caixa ao acaso,
>> independentemente da primeira escolha, e retira-se uma SEGUNDA moeda.
>> Sabendo que a primeira eh de ouro, qual a chance de a segunda ser de
>> ouro tambem?
>> RESPOSTA: Retiradas independentes, entao a informacao da primeira
>> moeda nao diz nada. Resposta 3/6=1/2.
>>
>> PROBLEMA B: Idem ao A, mas a primeira moeda nao eh reposta.
>> RESPOSTA: Fica melhor se desenhar uma arvore com quase 36 ramos...
>> Bom: ha 6 maneiras de tirar duas moedas de ouro: O1O2, O2O1, O1O3,
>> O2O3, O3O1, O3O2. As duas primeiras somam 1/9 (escolher caixa 1 duas
>> vezes); as duas proximas somam 1/3.1/3.1/2 (caixa 1, depois caixa 2,
>> moeda O3); e a terceira tem probabilidade 1/3.1/2.1/3. Somando tudo,
>> Pr(OO)=2/9.
>> Agora, a probabilidade da primeira moeda ser de ouro eh 1/2. Entao, a
>> probabilidade pedida eh Pr(OO|OX)=(2/9)/(1/2)=4/9.
>> Outra maneira de fazer: a primeira moeda veio da caixa com OO com 2/3
>> de chance; neste caso, a chance da segunda ser O eh 1/3+1/3.1/2=1/2
>> (na segunda retirada, 1/3 de pegar a mesma caixa, e 1/3 de pegar a
>> caixa OP). Se a primeira veio de OP, a segunda soh eh se voce
>> escolher a caixa OO, isto eh, 1/3 de chance. Juntando tudo:
>> Pr(OO|OX)=2/3.1/2+1/3.1/3=4/9
>>
>> PROBLEMA C: A segunda caixa TEM DE SER DIFERENTE DA PRIMEIRA; neste
>> caso nao faz diferenca se a primeira moeda eh reposta ou nao.... Deixo
>> esse pra voces. Resposta: 2/3.1/4+1/3.1/2=1/3.
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> 2009/7/14 Claudio Dias <claudiomd...@hotmail.com>:
>> > Oi, Walter.
>> >
>> > O problema original é dessa forma( resposta 2/3). Ele acaba induzindo a
>> > mesma caixa. Mas se não tivesse que ser da mesma caixa. Explo. a
>> > primeira
>> > retirada era da segunda caixa e a segunda da primeira ou a primeira
>> > retirada
>> > é da caixa 1 e a segunda da caixa 2. Esse foi o questionamento.
>> >
>> > ________________________________
>> > Date: Tue, 14 Jul 2009 21:22:18 -0300
>> > Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand
>> > (adaptado)
>> > From: wtade...@gmail.com
>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >
>> > Oi, Claudio
>> >
>> > A pergunta não se resumiria em "Se a moeda selecionada é de ouro, qual
>> > a
>> > probilidade de ser da caixa 1?".
>> > Tentei fazer a árvore e saiu assim:
>> >
>> > Ramo 1: P(cx1).P(ouro) = (1/3). (1) (seleciona a caixa 1 e sempre sai
>> > ouro)
>> > Ramo 2: P(c2).P(ouro) = (1/3).(1/2) (seleciona a caixa 2 e sai um ouro
>> > com)
>> > Ramo 3: P(cx3).P(ouro) = (1/3).(0) (seleciona a caixa 3 e não tem ouro)
>> >
>> > P(ouro) = (1/3).(1)+(1/3).(1/2) = 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2
>> > P(cx1/ouro) = P(cx1 e ouro)/P(ouro) = (1/3)/(1/2) =2/3
>> >
>> > Fiz besteira?
>> >
>> > Abraços
>> >
>> > 2009/7/14 Fabio Bernardo <prof_fabioberna...@yahoo.com.br>
>> >
>> > Vc só esqueceu de postar o problema... Rs...
>> >
>> > ----- Original Message -----
>> > From: Claudio Dias
>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> > Sent: Tuesday, July 14, 2009 12:28 PM
>> > Subject: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand
>> > (adaptado)
>> > Caros colegas da lista.
>> >
>> > Essa semana me deparei com o problema de probabilidade sobre as moedas
>> > de
>> > Bertrand. No momento da sua resolução, fui questionado sobre a
>> > possibilidade
>> > da segunda moeda, não necessariamente, ser da mesma caixa. Pensei em
>> > trabalhar a probabilidade condicional na união das três caixas ( C1 U C2
>> > U
>> > C3 ), ou seja, P(C1 U C2 U C3 / O). Achei 8/9. É possível?
>> > Tentei fazer uma árvore e não obtive esse resultado.
>> >
>> > Desde já, agradeço a oportunidade de discussão.
>> >
>> > Claudio Dias
>> >
>> >
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