Um olá a todos, e obrigado pelas boas vindas, Calos.
Estou na terceira série do ensino médio e já estudei o binômio de Newton, na verdade foi por causa de uma dúvida em relação a ele que eu vim aqui. Na verdade a forma como eu desenvolvi o meu raciocínio foi o contrário do que você pensou, vou explicar melhor agora: Numa noite, a dois anos, antes que eu pegasse no sono eu estava fazendo subtrações de potências quadradas de cabeça e eu achei um padrão que eu escrevi no outro dia durante a aula, o padrão era a expressão que eu descrevi no primeiro e-mail, que era: a^2 - b^2 = 2.(a-b).b - (a-b)^2 No outro dia para passar o tempo eu resolvi fazer a subtração de cabeça de potências de expoente 3 e foi natural o surgimento da expressão: a^3 - b^3 = 3.b.(a-b)^2 + 3.b^2.(a-b) + (a-b)^3 O meu intuito inicial foi facilitar casos particulares como: 101^3 - 100^3 = 3.(101-100)^2.100 + 3.(101-100).100^2 + (101-100)^3 101^3 - 100^3 = 3.1.100 + 3.1.10000 + 1 101^3 - 100^3 = 300 + 30000 +1 101^3 - 100^3 = 30301 Ou seja, quando são números grandes, com o mesmo expoente e diferenças pequenas entre eles. Na mesma hora eu observei que isso repetia o padrão dos dois produtos notáveis que conhecia, para (a+b)^2 e (a+b)^3, excluindo o primeiro termo. Estava no primeiro ano e na época eu ainda não conhecia o binômio de Newton, então só escrevi isso e deixei para lá. Já no começo desse ano eu vi uma demonstração geométrica da relação pitágoras e resolvi fazer o mesmo com o meu teorema usando um quadrado de lado a, de onde se tirava um quadrado de lado b, sobrando dois retângulos de lados (a-b) e b, e um quadrado de lado (a-b). Foi então que eu percebi que a expressão podia ser escrita como : a^2 = 1.b^2 + 2.(a-b).b + 1.(a-b)^2 Logo eu observei a semelhança com o binômio de Newton e encontrei um padrão que me permitia escrever expressões como essa para todos os números naturais. Não bastando isso, resolvi ir além e tentar achar um padrão que achasse diferenças entre números de expoente negativo, o que fiz da mesma forma que da primeira vez, executando as diferenças para achar um padrão, o que resultou que: a^-2 - b^-2 = -2.(a-b).b/a^2.b^2 - (a-b)^2/a^2.b^2 a^-3 - b^-3 = -3.(a-b).b^2/a^3.b^3 - 3.(a-b)^2.b/a^3.b^3 - (a-b)^3/a^3.b^3 ... Achei uma generalização que na prática serve só para demonstrar e identificar as expressões para uma determinada potência, já que executar a conta a partir de a^n - b^n = [b - (a-b)]^n - b^n se torna mais complexo que fazer o calculo inicial em si. Entretanto, surgiu para mim uma dúvida relacionada às expressões com expoente negativo: Passando o b para o outro lado a^-2 = b^-2 -2.(a-b).b/a^2.b^2 - (a-b)^2/a^2.b^2 a^-2 = 1.a^2/a^2.b^2 -2.(a-b).b/a^2.b^2 - 1.(a-b)^2/a^2.b^2 Como por definição não existe fatorial negativo, o binômio de Newton não poderia achar os coeficientes para os produtos notáveis de expoente menor que zero. Mostrei o caso para meu professor, perguntando se, por analogia, os coeficientes de um possível triângulo de pascal ao contrário não poderiam ser aqueles que eu estava identificando pelo teorema. Ele me falou então que já existe uma função que permite calcular um fatorial negativo ou com números decimais e que possivelmente deve existir essa continuação do triângulo de pascal, mas que ele, entretanto, não sabia usar. Ele me passou então a lista para que eu mostrasse o teorema que eu encontrei e saber qual é a opinião vocês sobre esse método para facilitar alguns tipos de subtrações e mais tarde perguntar se faz sentido essa minha idéia de continuar o binômio de Newton em linhas e colunas negativas (não necessariamente usando o meus teoremas, claro). O meu texto talvez tenha ficado demasiadamente longo e confuso e o final da minha idéia tenha sido meio nonsense, mas ele foi necessário para explicar melhor o que eu tenho em mente e saber as suas opiniões sobre o assunto. Abraço, Rafael Date: Thu, 10 Sep 2009 07:58:14 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da diferença de dois números elevados ao mesmo expoente Oi, Arthur (e Rafael) O Rafael não foi muito claro no que escreveu, mas o que eu entendi é que ele estava descobrindo uma forma de reescrever, usando "Binômio de Newton", a espressão a^n - b^n = [a + (b-a) ]^n - b^n. Os exemplos que ele explicitou para n = 2 e n = 3 mostram isto... Abraços, Nehab PS: Rafael, seja benvindo... Você já estudou Binômio de Newton? Em qual série você está? Artur Steiner escreveu: A igualdade, sem dúvida está certa, mas creio que você pensou em escrever algo diferente, pois, da forma como está, ele é imediata: [b + (a-b)]^n - b^n = [b + a - b]^n - b^n = a^n - b^n Acho que vc tinha em mente algo diferente. Artur From: leafar...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Teorema da diferença de dois números elevados ao mesmo expoente Date: Wed, 9 Sep 2009 13:49:24 -0300 Um olá para todos. Meu nome é Rafael Aguiar, estou cursando o ensino médio e encontrei uma propriedade matemática interessante que meu professor recomendou enviar para essa lista: Comecei encontrando um teorema para potências de segundo grau que diz que: a^2 - b^2 = 2.b.(a-b) + (a-b)^2 Algum tempo depois desenvolvi-lo para potências de terceiro grau: a^3 - b^3 = 3.b.(a-b)^2 + 3.b^2.(a-b) + (a-b)^3 E assim sucessivamente com naturais, inteiros, etc... Cheguei então a uma generalização do teorema que afirma que: a^n - b^n = [b + (a-b)]^n - b^n Não sei se usei a notação adequada para escrever isto no teclado, mas espero que vocês tenham entendido. Gostaria de saber o que vocês acham sobre essa propriedade que encontrei juntamente com a generalização, se está correta, etc. Desde já agradeço. Navegue com segurança com o Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é gratis! Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é gratis! ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= _________________________________________________________________ Você sabia que pode acessar o Messenger direto do seu Hotmail? Descubra como! http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/tutoriais.aspx
