Acho que a desigualdade de Bernouilli é uma boa saída. A mais rápida que me
ocorre. Mas uma outra prova é a seguinte:
Como a > 1, a = 1 + d para algum d > 0. Logo, a^(n + 1) = a a^n = (1 + d) a^n =
a^n + d a^n > a^n. Logo, a sequência a^n é estritamente crescente.
Se a^n for limitada, convergirá então, para seu supremo s, que não é termo de
a^n. Para todo eps > 0, existe k tal que n > k implica que
s - eps < a^n < s (1)
Como a > 1,
a(s - eps) < a . a^n = a^(n + 1) < s
as - a eps < s
eps > (a - 1)/a s
Assim, (1), contrariamente à conclusão anterior, não pode ser satisfeita, para
eps em (0, (a - 1)/a s]. Em outras palavras, se escolhermos eps
suficientemente pequeno, o termo a^(n + 1) será maior que s, contrariando o
fato de que s = sup a^n.
Artur
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Uma ajuda
Date: Tue, 2 Feb 2010 11:22:20 +0000
Prove q as potências a,a^2,...,a^n,...de um número a>1 crescem e podem
tornar-se maiores do q qualquer número dado de antemão.Mais
precisamente:fixados arbitrariamente a>1 e A>0,é possível achar n natural tal
q a^n >A.
Um colega usou a desigualdade de Bernoulli.Considerou a=1+d.Dai a^n=(1+d)^n
>=1+ n*d.Tomou n=(A-1)/d.E concluiu q a^n>A.Está certo?Poderiamos provar usando
logaritmos?
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