Acho que vc não entendeu o que o Ralph disse. Bolzano garante a existência de uma raiz real em cada intervalo. Mas não te garante que em cada intervalo a raiz encontrada não será a mesma. Mesmo porque existem outros intervalos em que o teorema é aplicável, mas a equação só tem 3 raízes. Para usar o teorema vc tem que achar intervalos disjuntos.
Um breve guia da demonstração: Nesse tipo de problema vale a pena analisar o gráfico. Calcule a derivada e veja os pontos de máximo e mínimo (M e m). Depois usa Bolzano nos intervalos (-inf, M), (M,m) e (m, inf) *que são disjuntos* [vc vai ver que M<m], e descobre as 3 raízes reais. Para descobrir o sinal de p(M) e p(m) vc talvez tenha que usar a seguinte desigualdade: raiz[(a^2+b^2+c^2)/3]^3 >=abc, onde a,b,c>=0 |vc vai usar essa desigualdade não nos a,b,c originais, mas sim em seus módulos.| Que é fácil demonstrar: Vejamos que raiz[(a^2+b^2+c^2)/3] >= (a+b+c)/3 >= (abc)^1/3. A última desigualdade é a das médias. E a primeira vc prova desenvolvendo: 3(a^2+b^2+c^2) >= (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+bc+ac) 2(a^2+b^2+c^2) >= 2(ab+bc+ac) Mas sabemos que a^2+b^2>=2ab, a^2+c^2>=2ac, b^2+c^2>2bc. Somando tudo dá aquilo. Repare que todas são duplas implicações. PS: O 1o problema realmente parece estranho.
