eu tive a mesma dúvida um tempo atrás, e achei esse artigo aqui http://planetmath.org/encyclopedia/ClosedOpen.html , que eu achei muito bom. Ele dá duas demonstrações de que os dois conjuntos (o aberto e o fechado) têm a mesma cardinalidade. A primeira delas é o seguinte "existe uma injetiva de um no outro, e uma injeiva do outro no um, portanto pelo teorema de Zwardjenjizfgyulpoz existe uma bijeção entre os dois". Na segunda demonstração, ele de fato constrói uma bijeção que é, em suma, o seguinte: ele enumera o conjunto dos racionais entre 0 e 1, de modo que os dois "primeiros" racionais sejam o próprio zero e o um. Aí ele faz uma bijeção entre os dois conjuntos "arrastando" o conjunto dos racionais duas unidades pra direita (ou seja, o "primeiro" racional vira o "terceiro", o "segundo" vira o quarto, o terceiro vira o quinto, etc.), e deixando invarianes os irracionais.
eu levei um tempo até acreditar e entender. Quando eu tava pesquisando sobre isso, eu tinha na cabeça a idéia de que essa bijeção tinha que ser contínua. Agora eu já acho que é meio óbvio que não dá pra uma bijeção entre esses dois conjuntos ser contínua. (essa em particular não é conínua em nenhum ponto!) boa sorte : )
