2011/1/26 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>: > OBM 2010 Terceira Fase > > > PROBLEMA 3 > Qual é a maior sombra que um cubo sólido de aresta 1 pode ter, no sol a > pino? > Observação: Entende-se “maior sombra de uma figura no sol a pino” como a > maior área possível para a > projeção ortogonal da figura sobre um plano. > > O que me perturba é que a resolução desse site dá que a maior sombra tem > área sqrt(6) - 1 > http://files.supergel57.webnode.com.br/200000496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o%208.pdf > > Mas tome o seguinte: > Coloque qualquer vértice do cubo (A) em contato com um plano de modo que o > vértice oposto (B) forme uma reta perpendicular ao plano. > As 3 arestas que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. As 3 > faces que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. > Logo os vértices adjacentes formam um tetraedro com base regular e sua > lateral composta por triêngulos retângulos. > Os vértices não adjacentes (com exceção de B) formam um tetraedro com base > regular e sua lateral composta por triângulos equiláteros. > Considerando a reta AB, esta é altura dos tetraedros. Logo fica fácil
Por que a altura dos tetraedros seria o segmento AB? A altura não seria menor que esse segmento? O tetraedro que é formado por três triângulos retângulos tem medidas da base L*raíz(2) e os outros segmentos que unem os vértices da base ao vértice que define a altura (ponto A) tem medida L (medida do lado do cubo). A altura do triângulo da base seria L*raíz(3)/4, 2/3 seria L*raíz(3)/6 (que é a medida do cateto localizado no triângulo da base para encontrar a altura do tetraedro), e a altura do tetraedro seria L*raíz(33)/6. O segmento AB do cubo mede L*raíz(3) que é maior que L*raíz(33)/6. > calcular a distância de AB e os vértices (2/3 da altura do triângulo da > base). > Essa distância é sqrt(6)/3 para todo os 6 vétices (não contando com A e B), > já que os dois tetraedros tem a mesma base. > Ou seja, é formado um hexágono de raio sqrt(6)/3 cuja área mede > 6.(sqrt(6)/3)² sqrt(3)/4 = sqrt(3) > sqrt(6) - 1. > > Pergunta: > Qual das duas soluções está errada? > -- Henrique ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
