Henrique, primeiramente obrigado por me informar. Realmente acho que não fui claro na resolução, o segmento AB é realmente maior que a altura dos tetraedros, o que eu realmente quis dizer é que a RETA AB é a RETA alrura dos tetraedros, não a MEDIDA de sua altura. Mas fora isso, há algo de errado com essa resolução? Eu tentei procurar algo mas não achei, será que o gabarito fornecido pela OBM está realmente errado? Se sim a classificação dos candidatos deve ser imediatamente mudada.
Grato, João > Date: Wed, 26 Jan 2011 10:27:50 -0200 > Subject: Re: [obm-l] OBM terceira faze nivel 3 - Gabarito duvidoso > From: henrique.re...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2011/1/26 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>: > > OBM 2010 Terceira Fase > > > > > > PROBLEMA 3 > > Qual é a maior sombra que um cubo sólido de aresta 1 pode ter, no sol a > > pino? > > Observação: Entende-se “maior sombra de uma figura no sol a pino” como a > > maior área possível para a > > projeção ortogonal da figura sobre um plano. > > > > O que me perturba é que a resolução desse site dá que a maior sombra tem > > área sqrt(6) - 1 > > http://files.supergel57.webnode.com.br/200000496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o%208.pdf > > > > Mas tome o seguinte: > > Coloque qualquer vértice do cubo (A) em contato com um plano de modo que o > > vértice oposto (B) forme uma reta perpendicular ao plano. > > As 3 arestas que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. As 3 > > faces que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. > > Logo os vértices adjacentes formam um tetraedro com base regular e sua > > lateral composta por triêngulos retângulos. > > Os vértices não adjacentes (com exceção de B) formam um tetraedro com base > > regular e sua lateral composta por triângulos equiláteros. > > Considerando a reta AB, esta é altura dos tetraedros. Logo fica fácil > > Por que a altura dos tetraedros seria o segmento AB? A altura não > seria menor que esse segmento? O tetraedro que é formado por três > triângulos retângulos tem medidas da base L*raíz(2) e os outros > segmentos que unem os vértices da base ao vértice que define a altura > (ponto A) tem medida L (medida do lado do cubo). A altura do triângulo > da base seria L*raíz(3)/4, 2/3 seria L*raíz(3)/6 (que é a medida do > cateto localizado no triângulo da base para encontrar a altura do > tetraedro), e a altura do tetraedro seria L*raíz(33)/6. O segmento AB > do cubo mede L*raíz(3) que é maior que L*raíz(33)/6. > > > calcular a distância de AB e os vértices (2/3 da altura do triângulo da > > base). > > Essa distância é sqrt(6)/3 para todo os 6 vétices (não contando com A e B), > > já que os dois tetraedros tem a mesma base. > > Ou seja, é formado um hexágono de raio sqrt(6)/3 cuja área mede > > 6.(sqrt(6)/3)² sqrt(3)/4 = sqrt(3) > sqrt(6) - 1. > > > > Pergunta: > > Qual das duas soluções está errada? > > > > > > -- > Henrique > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================================
