nunca tentei provar de nenhum jeito elementar... sempre usei que e^ix = cis(x)
mas talvez indução resolva : ) cis(x)^1 = cis(1x) assumindo cis(x)^n = cis(nx), podemos começar multiplicando dos dois lados por cis(x), e aí vai dar: cis(x)^n * cis(x) = cis(x) * cis(nx) cis(x)^(n+1) = [ cos(x) + i sen(x) ]*[ cos(nx) + i*sen(nx) ] cis(x)^(n+1) = [ cos(x)*cos(nx) - sen(x)*sen(nx) ] + i*[ cos(x)*sen(nx) + cos(nx)*sen(x) ] as expressões dentro de cada colchetes são as expansões do cossendo da soma cos(x+nx) e do seno da soma sen(x+nx). cis(x)^(n+1) = cos(x+nx) + i*sen(x+nx) = cis(x+nx) = cis((n+1)x) pronto! pra quem não sabe, demonstração por indução é um método que se usa quando se quer demonstrar que uma certa propriedade vale pra todos os números naturais. Nesse caso, por exemplo, queremos mostrar que, qualquer que seja o número natural "n", vale a fórmula cis(x)^n=cis(nx). O método consiste em mostrar que se a propriedade valer para algum número natural "n", então ela também vale para o seu sucessor, "n+1". Aí, basta só mostrar que vale para n=1, e então segue que vale para n=2, e portanto vale também para n=3, etc, etc. abraço ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
