*Achar todos os naturais tais que (2^n-1)/n é inteiro.* Acho que vai ser complicado resolver isso com o t. fermat. Mas vasculhei as wikipedias da vida e encontrei o seguinte teorema, generalização do t. euler:
http://en.wikipedia.org/wiki/Carmichael_function Basicamente ele aponta qual é o menor m tal que a^m = 1 mod n, que ele chama de lambda(n) *Assim temos que n deve ser múltiplo de lambda(n).* Já sabemos que n deve ser ímpar. Seja n = p1^k1 * p2^k2 * ... * pm^km. Temos pelo teorema que: lambda(n) = mmc [p1^(k1-1)*(p1-1), ... , pm^(km-1)*(pm-1)], visto que todos os primos são diferentes de 2. Agora observe que pi - 1 é par, logo esse mmc é par. Assim n deve ser múltiplo de um par, absurdo, pois já sabemos que n deve ser ímpar. Observação: o próprio teorema de euler lá nos mostra que uma eventual generalização não é verdadeira. Por exemplo trocando o 2 pelo 5 temos: *(5^n-1)/n, *o que é satisfeito por n = 6, [fi(6) = 2, que divide 6]. Ou seja 5^2 = 1 mod 6 => 5^6 = 1 mod 6. Abçs
