As condições dadas implicam que, para todo eps > 0, exista delta > 0 tal que, se x < a < y e y - x < delta, então |(f(y) - f(x))/(y - x) - L | < eps (1). Para todos x e y com a < y < a + delta/2 e a- delta/2 < x < a, temos então que (1) é satisfeita. Mantendo-se y fixo e fazendo x --> a+, o fato do f ser contínua em a implica, em virtude de (1), que |(f(y) - f(a))/(y - a)- L| <= eps (2). Como eps é arbitrário e, para todo eps > 0 podemos encontra delta que satisfaça a (2), concluímos que lim y --> a- (f(y) - f(a))/(y - a) = L. Logo, f'(a-) existe e iguala-se a L. De forma similar, mostramos que f'(a+) = L, de modo que f é derivável em a com f'(a) = L.
É de fato fácil ver que a diferenciabilidade em a é essencial. Basta tomar a = 0 e f(x) = x^2, se x <>0, e f(0) = 1 Abraços Artur -----Mensagem original----- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Jefferson Chan Enviada em: quinta-feira, 10 de fevereiro de 2011 08:08 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise real Na verdade, a minha dúvida é somente mostrar que é derivável. Eu consigo mostrar que é necessário que f seja contínua. abs, Jefferson On Thu, 2011-02-10 at 07:54 +0100, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote: > 2011/2/10 Jefferson Chan <jeffersonj...@gmail.com>: > > Seja f: I-->IR contínua no ponto a interior ao intervalo > > I. Suponha que existe L real tal que > > > > lim [f(y_n) - f(x_n)]/[y_n - x_n] = L > > > > para todo par de sequencias {x_n}, {y_n} em I com x_n < a < y_n e lim x_n = > > lim y_n = a. > > Prove que f é derivavel no ponto a e f'(a)=L. Mostre que a hipótese de f > > ser contínua no ponto a é indispensável. > Oi Jefferson. Qual é a parte que tá dando problema ? Mostrar que é > derivável? Ou que é necessário que f seja contínua em a ? (são duas > idéias diferentes que você precisa ter) > > Abraços, ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
