Olá, Samuel,
Notação: tr(A) = traço de A
Propriedades do traço:
- traço é um operador linear;
- traço de um produto independe da ordem [ tr(AB) = tr(BA) ].
ida) (Existem A e B, tal que C = AB - BA) => tr(C) = 0
Utilizando as propriedades, é trivial: tr(C) = tr(AB-BA) = tr(AB) - tr(BA) =
0
volta) tr(C) = 0 => (Existem A e B, tal que C = AB - BA)
C = [ a b ]
[ c -a ]
Seja K, tal que:
K = [ -a 0 ]
[ 0 a ]
KC = [ -aa -ab ]
[ ac -aa ]
CK = [ -aa ab ]
[ -ac -aa ]
KC + CK = [ -2aa 0 ]
[ 0 -2aa ]
KC + CK = -2aaI
Multiplicando por C pela direita, temos:
KCC + CKC = -2aaC
(KC)C + C(KC) = -2aaC
Portanto:
Construimos A e B, tal que AB - BA = C.
A = KC
B = -C/(2aa)
Podemos construir de outras maneiras tbém:
A = -KC/(2aa)
B = C
Ou então:
A = -KC/(2a)
B = C/a
E assim por diante :)
Abraços,
Salhab
2011/2/17 Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com>
> Olá,
>
> Estou apanhando de uma parte desse exercício:
>
> Seja C={[c11,c12],[c21,c22]} uma matriz 2X2.
>
> Pergunta-se quando é possível encontrar matrizes 2x2 A e B tais que C=AB -
> BA. Prove que tais matrizes podem ser encontradas se e somente se c11+c22=0.
>
> A ida dessas implicações consegui fazer: escreve-se explicitamente as
> matrizes A e B, e vejo que se igualo AB-BA à C, devo ter c11+c22=0. Agora
> saindo de c11+c22=0 e chegar tais matrizes A e B podem ser encontradas
> achei difícil.
>
> Gostaria de pedir ajuda aos colegas de lista.
> Obrigado.
> Samuel.
>
