2011/5/7 Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com>: > Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - > V > Mostrar que se <T(v),v> pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* > (adjunto) > > Se <T(v),v> = <v,T*(v)> para todo v em V > portanto <v,T(v) - T*(v)> = 0 para todo v em V > agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) passear.
Acontece que <v,A(v)> tem mais informação do que só isso, justamente por ligar v e a sua imagem. Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, <u, Au> = <u, lambda*u> = lambda*<u,u> = lambda *||u||^2. Se <v, Av> = 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que <v, Av> mede o quanto A "dilata" os vetores. Sendo mais claro, se ||v|| = 1, você tem que <v, Av> pertence ao intervalo delimitado pelos menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que <u, Au> = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, quando eu me lembrei disso, eu pensei "Puxa, na verdade T - T* dilata sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí." O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é "anti-auto-adjunta", A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda consegue diagonalizar sobre C. > Pois daí T = T* Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
