O que vc tem que mostrar é que <x,Ty> = 0 para todo x E para todo y. Uma maneira de fazer isso é trocar v por x+y, depois por x+iy e ver o que aparece :)
From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] problema estranho Date: Sat, 7 May 2011 20:08:20 +0000 Olá, Obrigado pelo esclarecimento, mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu operador não tem vetor próprio diferente de zero? Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v em V. Mas se eu tenho um vetor prórpio <(T-T*)(vp),vp> = 0 =>( T - T*)(vp) = 0. Estou um pouco perdido. Obrigado > Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200 > Subject: Re: [obm-l] problema estranho > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2011/5/7 Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com>: > > Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - > V > > Mostrar que se <T(v),v> pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* > > (adjunto) > > > > Se <T(v),v> = <v,T*(v)> para todo v em V > > portanto <v,T(v) - T*(v)> = 0 para todo v em V > > agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V > Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é > ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a > mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) > passear. > > Acontece que <v,A(v)> tem mais informação do que só isso, justamente > por ligar v e a sua imagem. > > Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que > está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você > pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores > próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio > associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, > <u, Au> = <u, lambda*u> = lambda*<u,u> = lambda *||u||^2. Se <v, Av> = > 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui > que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é > nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se > você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) > > Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que > <v, Av> mede o quanto A "dilata" os vetores. Sendo mais claro, se > ||v|| = 1, você tem que <v, Av> pertence ao intervalo delimitado pelos > menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que <u, > Au> = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, > quando eu me lembrei disso, eu pensei "Puxa, na verdade T - T* dilata > sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí." > > O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por > auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é > importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é > "anti-auto-adjunta", A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda > consegue diagonalizar sobre C. > > > Pois daí T = T* > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================================
