Vamos continuar o seu raciocínio. Seja b(z) o conjugado do número complexo z. Sabemos que vale <Tu,v>=<u,T*v> para u,v em V. Se fizermos u=v temos <Tv,v>=<v,T*v>=b(<T*v,v>)=<T*v,v> e obtemos que <Tv-T*v,v>=0 para todo v em V, esta é a parte do seu raciocínio. Faça B=T-T*, e queremos verificar que B=0 observe primeiro que B*=(T-T*)*=-B.
E sabemos que <Bv,v>=0 para todo v em V. Suponha que v=u+w então 0=<Bv,v>=<B(u+w),u+w>=<Bu,w>+<Bw,u> e daí <Bu,w>=-<Bw,u>=<-Bw,u>=<B*w,u>, para todo u,w em V. Por outro lado como <Bu,w>=<u,B*w> para todo u, w em V. Comparando as duas igualdades temos que <Bu,w> é real para todo u e w em V. E daí <Bu,w>=<w,Bu> para todo u,w em V e faça w=iBu, i é o número complexo. e temos -||Bu||^2=||Bu||^2, logo Bu=0 para todo u em V. E portanto B=0=T-T* e temos T=T*. [] Jones 2011/5/7 Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com> > Olá, > Obrigado pelo esclarecimento, > mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu > operador não tem vetor próprio diferente de zero? > Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v > em V. Mas se eu tenho um vetor prórpio <(T-T*)(vp),vp> = 0 =>( T - T*)(vp) = > 0. > Estou um pouco perdido. > Obrigado > > > Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200 > > Subject: Re: [obm-l] problema estranho > > From: bernardo...@gmail.com > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > > > 2011/5/7 Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com>: > > > Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - > V > > > Mostrar que se <T(v),v> pertencce aos reais para todo v em V, então T = > T* > > > (adjunto) > > > > > > Se <T(v),v> = <v,T*(v)> para todo v em V > > > portanto <v,T(v) - T*(v)> = 0 para todo v em V > > > agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v > em V > > Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é > > ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a > > mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) > > passear. > > > > Acontece que <v,A(v)> tem mais informação do que só isso, justamente > > por ligar v e a sua imagem. > > > > Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que > > está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você > > pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores > > próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio > > associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, > > <u, Au> = <u, lambda*u> = lambda*<u,u> = lambda *||u||^2. Se <v, Av> = > > 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui > > que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é > > nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se > > você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) > > > > Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que > > <v, Av> mede o quanto A "dilata" os vetores. Sendo mais claro, se > > ||v|| = 1, você tem que <v, Av> pertence ao intervalo delimitado pelos > > menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que <u, > > Au> = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, > > quando eu me lembrei disso, eu pensei "Puxa, na verdade T - T* dilata > > sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí." > > > > O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por > > auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é > > importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é > > "anti-auto-adjunta", A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda > > consegue diagonalizar sobre C. > > > > > Pois daí T = T* > > > > Abraços, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= >
