Eh fiquei tambem com a impressao que, em geral, ac eh bem maior que a+c em modulo.
Vejamos como formalizar isto. Primeiro vou me livrar de uns casos pequenos (que soh vi serem necessarios depois que terminei o problema :P): CASO 0: Se um deles for 0 (digamos a=0) Entao -2=b+c, que tem uma infinidade de solucoes. Assim, temos as inumeras solucoes do tipo (0,n,-2-n) com n inteiro, e suas permutacoes. CASO 1: Se um deles for 1 (digamos a=1). Entao bc-2=b+c+1, isto eh, (b-1)(c-1)=4. Temos entao {b-1,c-1}={2,2},{-2,-2},{1,4} ou {-1,-4}. Daqui vem as solucoes novas: (1,3,3), (1,-1,-1), (1,2,5) -- e permutacoes. CASO 2: Se um deles for -1 (digamos a=-1) Entao -bc-2=-1+b+c bc+b+c+1=0 (b+1)(c+1)=0 Entao b=-1 ou c=-1. Assim temos as solucoes do tipo (-1,-1,n) e permutacoes. Acho que agora jah dah para fazer o caso geral, onde vou supor que todos sao, em modulo, maiores que 2. Mas os sinais atrapalham, entao vou subdividir em mais casos: CASO 3: Todos positivos (digamos a>=b>=c>=2). a(bc-1)=b+c+2 (como bc-1>0, a>=2 e c<=b) 2(bc-1)<=2b+2 bc-1<=b+1 b(c-1)<=2 Que nao dah muitas opcoes.... Como b>=c>=2, soh fica a opcao b=c=2! Em suma, achamos apenas a resposta (2,2,2). CASO 4: Dois positivos, um negativo (digamos a>=b>=2 mas c<=-2) Entao troco (a,b,c) por (A,B,-C) para ficar com A,B,C positivos. Fica: -ABC-2=A+B-C ABC+A+B=C-2 Mas ABC+A+B>=4C+2+2, entao: C-2>=4C+4 C<=-2 (impossivel) CASO 5: Dois negativos, um positivo (digamos a>=2 e -2>=b>=c) Troco (a,b,c) por (A,-B,-C). Fica: ABC-2=A-B-C ABC+B+C=A+2 Mas ABC+B+C>=4A+2+2, entao: A+2>=4A+4 3A<=-2 (impossivel) CASO 6: Todos negativos (digamos, 0>c>=b>=a) Troco (a,b,c) por (-A,-B,-C) (com A>=B>=C) -ABC-2=-A-B-C A(BC-1)=B+C-2 Como BC-1>0, A>=2 e C<=B, vem: 2(BC-1)<=2B-2 BC-1<=B-1 B(C-1)<=0 (impossivel, pois B,C>=2) ----////---- Resumindo tudo, as solucoes sao: (0,n,-2-n), (-1,-1,n), (1,3,3), (1,2,5), (2,2,2) e permutacoes. Abraco, Ralph 2011/6/27 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com> > Achar todas as soluções inteiras da equação abc - 2 = a + b + c . > > É fácil achar algumas soluções.Como (2,2,2) ou (3,3,1),por exemplo. > Isolando b,obtemos b=(a+c+2)/(ac - 1),a impressão que dá é que em geral > o módulo de ac é maior que o módulo de a+c, > o módulo do denominador é maior que o módulo do numerador e b não é > inteiro. > Tentei uma maneira de restringir ao máximo os possíveis valores de a e > c,mas...emperrei. > Obrigado a quem puder ajudar. > >