Em 01/07/11, Johann Dirichlet<peterdirich...@gmail.com> escreveu: > Em 30/06/11, marcone augusto araújo > borges<marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >> >> 1) Se p é inteiro primo ímpar,mostre que o numerador da fração >> 1+1/2+1/3+...1/(p-1) é um múltiplo de p. > > 1) Teorema de Wolstenholme, se não me engano... > > Bora lá, usar o velho truque das pontas de Gauss: 1/k+1/(p-k)=p/(k(p-k)); > assim sendo, temos um monte de frações p/(alguma coisa). Esta coisa > não será múltipla de p em momento nenhum, logo nada aniquila este > fator p. > >> >> 2) Mostre que existem infinitos polinômios p(x) com coeficientes reais >> tais >> que p(x^2+1) = [p(x)]^2.
É mais mole do que eu pensei! 1 - Se P e Q são soluções da equação acima, P*Q também será. Óbvio! 2 - Um polinômio possível é x^2-x+1. Como sei? Simples: Se L é um zero de P, então L^2+1 também será. Se eu conseguir L=L^2+1, terei uma solução pronta! Basta abrir o polinomio sem medo. P.S.: saber todas as soluções me parece mais desgastante. Aplicando a transformação T(L)=L^2+1 um numero finito de vezes, todos os polinômios dos pontos fixos são soluções. A treta é saber se não escapa nenhum (até porque muitos desses polinomios são fatoráveis, I think so). >> >> 3) Uma corda AB,de comprimento constante,desliza sobre uma >> semicircunferência determinada por um diâmetro d. >> Considere o triângulo cujos vértices são: o ponto médio da corda e as >> projeções ortogonais dos seus extremos A e B >> sobre o diâmetro d.Mostre que ,durante o deslizamento da corda,esse >> triângulo é sempre isósceles e nunca muda de formato(i.é.,os ângulos do >> triângulo são constantes) > > Faz um desenho! > Diâmetro r;centro O, raio 1; corda AB, tamanho d, médio M; AB > projetado em r dá XY. > > O triangulo AOB é obviamente isósceles. > Os quadrilateros XOMA e YOMB são inscritíveis de diâmetros OA e OB > respectivamente (angulos de 90 graus). > > Temos OXM=OAM=OBM=OYM, logo XMY é isosceles. E o angulo OBA depende > unicamente de d. > > P.S.: duvido que os triangulos sejam todos congruentes. O angulo XOM > define o tamanho de XM. > >> >> Meus agradecimentos por qualquer esclarecimento. >> > > > -- > /**************************************/ > 神が祝福 > > Torres > -- /**************************************/ 神が祝福 Torres ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
