Melhorando aos poucos, ainda usando as ideias do Dirichlet: p(x) não pode ser ímpar. Se fosse, 0 seria raiz. Mas então 0^2+1=1 seria raiz, e 1^2+1=2 seria raiz, e 2^2+1=5 seria raiz... e p(x) não pode ter infinitas raízes. Então estamos à procura de um polinômio **par** p(x) tal que p(x^2+1)=[p(x)]^2.
Aliás, esse raciocínio mostra que esse p(x) não pode ter nenhuma raiz real -- se tiver uma raiz real x, terá infinitas, já que x^2+1>x para todo x real. (Por enquanto, fico com a terrível impressão de que tal polinômio não existe... Alguém achou o dito cujo?) 2011/7/1 Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> > O raciocínio do Dirichlet mostra que basta achar UM polinômio (não > constante) que tenha esta propriedade. Afinal, como ele mostrou, se p(x) > serve, então q(x)=(p(x))^2 também serve. > > Mas seja lá quem for o polinômio mágico, eu sei que ou ele é um polinômio > par ou ele é ímpar. Afinal, escreva p(x)=P(x)+I(x) onde P(x) tem apenas os > termos de grau par e I(x) tem apenas os de grau ímpar. > > Ora, p(x)^2=(P^2+I^2)+2PI. Note que P^2+I^2 é um polinômio par e 2PI é > ímpar. > > Mas a condição manda que p^2=p(x^2+1), que é uma função par. Então o termo > 2PI não pode existir, isto é, P=0 ou I=0. Assim, p(x) é par ou ímpar. E > x^2-x+1 não é um nem outro, então não funcionou... > > Então precisamos ainda mostrar que existe UM tal polinômio! > > Abraço, > Ralph > > P.S.: Tem certeza que o enunciado é esse mesmo? Não seria, sei lá, > p(x^2+1)=(p(x))^2+1 ao invés? > 2011/7/1 Johann Dirichlet <peterdirich...@gmail.com> > >> Em 01/07/11, Johann Dirichlet<peterdirich...@gmail.com> escreveu: >> > Em 30/06/11, marcone augusto araújo >> > borges<marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >> >> >> >> 1) Se p é inteiro primo ímpar,mostre que o numerador da fração >> >> 1+1/2+1/3+...1/(p-1) é um múltiplo de p. >> > >> > 1) Teorema de Wolstenholme, se não me engano... >> > >> > Bora lá, usar o velho truque das pontas de Gauss: >> 1/k+1/(p-k)=p/(k(p-k)); >> > assim sendo, temos um monte de frações p/(alguma coisa). Esta coisa >> > não será múltipla de p em momento nenhum, logo nada aniquila este >> > fator p. >> > >> >> >> >> 2) Mostre que existem infinitos polinômios p(x) com coeficientes reais >> >> tais >> >> que p(x^2+1) = [p(x)]^2. >> >> É mais mole do que eu pensei! >> >> 1 - Se P e Q são soluções da equação acima, P*Q também será. Óbvio! >> 2 - Um polinômio possível é x^2-x+1. >> Como sei? Simples: >> >> Se L é um zero de P, então L^2+1 também será. >> Se eu conseguir L=L^2+1, terei uma solução pronta! >> Basta abrir o polinomio sem medo. >> >> >> P.S.: saber todas as soluções me parece mais desgastante. Aplicando a >> transformação T(L)=L^2+1 um numero finito de vezes, todos os >> polinômios dos pontos fixos são soluções. A treta é saber se não >> escapa nenhum (até porque muitos desses polinomios são fatoráveis, I >> think so). >> >> >> >> >> 3) Uma corda AB,de comprimento constante,desliza sobre uma >> >> semicircunferência determinada por um diâmetro d. >> >> Considere o triângulo cujos vértices são: o ponto médio da corda e as >> >> projeções ortogonais dos seus extremos A e B >> >> sobre o diâmetro d.Mostre que ,durante o deslizamento da corda,esse >> >> triângulo é sempre isósceles e nunca muda de formato(i.é.,os ângulos do >> >> triângulo são constantes) >> > >> > Faz um desenho! >> > Diâmetro r;centro O, raio 1; corda AB, tamanho d, médio M; AB >> > projetado em r dá XY. >> > >> > O triangulo AOB é obviamente isósceles. >> > Os quadrilateros XOMA e YOMB são inscritíveis de diâmetros OA e OB >> > respectivamente (angulos de 90 graus). >> > >> > Temos OXM=OAM=OBM=OYM, logo XMY é isosceles. E o angulo OBA depende >> > unicamente de d. >> > >> > P.S.: duvido que os triangulos sejam todos congruentes. O angulo XOM >> > define o tamanho de XM. >> > >> >> >> >> Meus agradecimentos por qualquer esclarecimento. >> > >> > >> > -- >> > /**************************************/ >> > 神が祝福 >> > >> > Torres >> > >> >> >> -- >> /**************************************/ >> 神が祝福 >> >> Torres >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > >
