2012/1/4 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>: > Alguém sabe alguma demonstração fácil da área da elipse sem usar integral? Eu usaria uma transformação linear. O fato mais importante é que transformações lineares são homogêneas para áreas: elas multiplicam a área por uma constante, independente do que você esteja considerando. Isso não é verdade para distâncias (veja mais embaixo, mas uma transformação linear no plano tem dois valores próprios; se eles forem diferentes, com certeza uma direção - e portanto comprimentos nessa direção - terá efeitos diferentes da outra direção)
Veja que um círculo x^2 + y^2 = r^2 se transforma numa elipse por uma transformação linear do plano (x,y) -> (ax + by, cx + dy) inversível, ou seja, tal que ad - bc != 0. Isso posto, é mais fácil fazer ao contrário. Seja x = az + bw, y = cz + dw (com as mesmas condições). Assim, a imagem (inversa) do círculo x^2 + y^2 = r^2 satisfaz (az + bw)^2 + (cz + dw)^2 = r^2. Parando com essa generalização toda, seja (a, b; c, d) a matriz que dilata apenas o eixo dos x, (k, 0; 0, 1). Assim, temos a nova equação k^2 z^2 + w^2 = r^2. que é uma elipse com semi-eixo vertical igual a r, e semi-eixo horizontal igual a r/k. O círculo original tinha área pi r^2, a elipse obtida é a imagem inversa de uma transformação linear que multiplica o eixo x por k, portanto a área da elipse é pi r^2 / k. (Para os "fundamentalistas" de análise, vale lembrar que a homogeneidade das transformações lineares é a justificativa da definição das fórmulas de mudança de variáveis nas integrais com mais de uma variável. No caso de áreas, onde integramos funções de uma variável, talvez não seja necessário, mas essa idéia de que funções lineares multiplicam o volume por uma constante é essencial em muitas justificativas) > Caso não haja, alguém sabe de alguma que possa serr resolvida por alguma > substituição (do jeit o que estou tentando fazer só apelando para o wolfram > mesmo ) Se o Wolfram consegue fazer "simbólicamente", então deve ter uma substituição também. Qual é a integral que você está tentando? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
