Olá Marcelo, realmente esqueci de provar que converge. Enfim, a prova é fácil
sendo x finito, Vamos provar por indução que se f(x) < 2, f(x+1) < 2
temos f(x+1) = sqrt(2 + f(x)), < sqrt(2+2) = 2, e f(1) < 2, o que completa a
demonstração de que f(infinito) converge
[]'sJoão
Date: Sun, 25 Mar 2012 13:16:09 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
João,muito cuidado quando vc fez x tender ao infinito e ficou com: f = raiz(2 +
f), pois isso só é verdade se f(x) convergir. Como, neste caso, f(x) de fato
converge, sua resposta está correta.
Mas veja em outras situações:S_n = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^nS_n = 1 + 2*(1 + 2
+ 4 + ... + 2^(n-1))S_n = 1 + 2*S_(n-1)Fazendo n tender ao infinito, temos: S =
1 + 2S => S = -1, claramente absurdo!
Outra situação:S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/nS_n = S_(n-1) + 1/nFazendo
n tender ao infinito, temos: S = S + 0 => S = 0, claramente absurdo!
Outra situação:S_n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... (n vezes)S_n = 1 -
S_(n-1)Fazendo n tender ao infinito, temos: S = 1 - S => S = 1/2, claramente
absurdo!
O que você provou foi: Se f(x) convergir, então ele converge para 2.
Para completar sua prova de que f(x) converge para 2, falta provar que f(x) de
fato converge.
Abraços,Salhab
2012/3/24 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1) >
f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos que
f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para
qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) < 2, além disso f(x) > 0
e f(x) >= f(1) = raiz(2) =~ 1.4
Elevando ao quadrado desse modo:f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) -> f(x)² -
2 = f(x-1) -> (f(x)²-2)²-2 = f(x-2), repetindo isso x vezes temos ->
(((((....(f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e
termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é
racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional.
[]'sJoão
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To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Provar que é irracional...
Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 +0000
Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é
irracional?
