Acho que vc matou a charada, Pedro!
Muito obrigado
Artur Costa Steiner
Em 16/01/2013, às 22:57, Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com> escreveu:
> Não conheço este Teorema (extensão de Tietze), mas acho que você pode
> facilmente estender essa função assim:
>
> Coloque em torno de cada ponto x_n uma bola de raio s < r/2, de
> maneira que cada bola contenha somente um dos pontos. Então, faça,
> dentro de cada bola, f(x)=n*[1-d(x,x_n)/s], e fora das bolas, f(x)=0.
> Ou seja, pertinho de cada x_n a função cresce rapidamente de maneira a
> atingir n no próprio x_n, mas longe dos x_n a função é 0.
>
> 2013/1/16 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>:
>> Esse assunto não é muito popular aqui na lista, mas não chega a ser off
>> topic, certo?
>>
>> Queremos provar o seguinte: se (X, d) é um espaço métrico tal que toda
>> função contÃnua de X em R (R com a métrica euclidiana usual) for
>> limitada, então X é compacto.
>>
>> Isso é bem fácil de provar nos espaços, como os euclidianos, que
>> satisfaçam à condição de Heine Borel, segundo a qual todo conjunto
>> fechado e limitado é compacto. Mas isso não é regra geral. O que é geral
>> é que um espaço métrico é compacto se, e somente, for completo e
>> totalmente limitado. Com base nisso, a minha abordagem, ainda incompleta, é:
>>
>> Se X não for compacto, então X não é completo ou não é totalmente
>> limitado. Vamos ver os dois casos, raciocinando por contraposição.
>>
>> Se X não for completo, existe então em X uma sequência de Cauchy (u_n)
>> que não converge. Definamos a função g de X em R dada por g(x) = lim d(x,
>> u_n). Esta definição faz sentido, pois como (u_n) é Cauchy, então (d(x,
>> u_n)) é Cauchy em R, logo convergente. E esta função g é contÃnua. De
>> fato, se x1 e x2 estão em X, então, para todo n,
>>
>> d(x1, u_n) <= d(x1, x2) + d(x2, u_n)
>> d(x2, u_n) <= d(x2, x1) + d(x1, u_n)
>>
>> Temos então que |d(x1, u_n) - d(x2, u_n)| <= d(x1, x2) . Tomando o limite
>> quando n --> oo, obtemos |g(x1) - g(x2)| <= d(x1, x2), o que mostra que g é
>> até mesmo Lipschitz.
>>
>> Para todo x, g(x) > 0. Se para algum x tivéssemos g(x) = 0, (u_n),
>> contrariamente à hipótese, convergiria para x.
>>
>> Temos também que lim m--> g(u_m) = 0. Para vermos isto, observemos que,
>> como (u_n) é Cauchy, para todo eps > 0, existe k tal que d(u_m, u_n) < eps
>> para todos m, n > k. Mantendo m fixo, obtemos lim n --> oo d(u_m, u_n) =
>> g(u_m) < eps para todo m > k. Logo, lim g(u_m) = 0.
>>
>> Assim, conseguimos fazer g(x) > 0 tão perto de 0 quanto desejado. Desta
>> forma, definindo-se f = 1/g, obtemos uma função contÃnua (pois g é
>> contÃnua) e ilimitada.
>>
>> Se X não for totalmente limitado, então existe r > 0 tal que não é
>> possÃvel cobrir X com uma coleção finita de bolas abertas de raio r. Isto
>> implica, por meio de um raciocÃnio indutivo, wue existe em X uma sequência
>> infinita (x_n) tal que a distância entre quaisquer 2 elementos distintos de
>> K = {x_1, x_2, x_3, ....} é >= r. K não tem pontos de acumulação, logo
>> é fechado, além de ser infinito. Se definirmos f de K em R por f(x_n) = n,
>> obtemos uma função ilimitada e trivialmente contÃnua, pois K não possui
>> pontos de acumulação. É possÃvel chamar o Teorema da Extensão de Tietze
>> para estendermos f para X obtendo uma função contÃnua e ilimitada? Eu
>> estou empacado aqui. Não sei se estou no caminho certo.
>>
>> Obrigado, desculpem por esse este assunto um tanto chato.
>>
>> Abraços
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Artur Costa Steiner
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>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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