Oi, obrigado.
Estou com uma dúvida. Qual a definição de g_n(x) se 0 < d(x, x_n) <= r/3?
Abraços
Artur Costa Steiner
Em 16/01/2013, às 22:40, Bernardo Freitas Paulo da Costa
<bernardo...@gmail.com> escreveu:
> 2013/1/16 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>:
>> Esse assunto não é muito popular aqui na lista, mas não chega a ser off
>> topic, certo?
>>
>> Queremos provar o seguinte: se (X, d) é um espaço métrico tal que toda
>> função contínua de X em R (R com a métrica euclidiana usual) for limitada,
>> então X é compacto.
>>
>> Isso é bem fácil de provar nos espaços, como os euclidianos, que satisfaçam
>> à condição de Heine Borel, segundo a qual todo conjunto fechado e limitado é
>> compacto. Mas isso não é regra geral. O que é geral é que um espaço métrico
>> é compacto se, e somente, for completo e totalmente limitado. Com base
>> nisso, a minha abordagem, ainda incompleta, é:
>>
>> Se X não for compacto, então X não é completo ou não é totalmente limitado.
>> Vamos ver os dois casos, raciocinando por contraposição.
>>
>> Se X não for completo, existe então em X uma sequência de Cauchy (u_n) que
>> não converge. Definamos a função g de X em R dada por g(x) = lim d(x, u_n).
>> Esta definição faz sentido, pois como (u_n) é Cauchy, então (d(x, u_n)) é
>> Cauchy em R, logo convergente. E esta função g é contínua. De fato, se x1 e
>> x2 estão em X, então, para todo n,
>>
>> d(x1, u_n) <= d(x1, x2) + d(x2, u_n)
>> d(x2, u_n) <= d(x2, x1) + d(x1, u_n)
>>
>> Temos então que |d(x1, u_n) - d(x2, u_n)| <= d(x1, x2) . Tomando o limite
>> quando n --> oo, obtemos |g(x1) - g(x2)| <= d(x1, x2), o que mostra que g é
>> até mesmo Lipschitz.
>>
>> Para todo x, g(x) > 0. Se para algum x tivéssemos g(x) = 0, (u_n),
>> contrariamente à hipótese, convergiria para x.
>>
>> Temos também que lim m--> g(u_m) = 0. Para vermos isto, observemos que, como
>> (u_n) é Cauchy, para todo eps > 0, existe k tal que d(u_m, u_n) < eps para
>> todos m, n > k. Mantendo m fixo, obtemos lim n --> oo d(u_m, u_n) = g(u_m)
>> < eps para todo m > k. Logo, lim g(u_m) = 0.
>>
>> Assim, conseguimos fazer g(x) > 0 tão perto de 0 quanto desejado. Desta
>> forma, definindo-se f = 1/g, obtemos uma função contínua (pois g é contínua)
>> e ilimitada.
>>
>> Se X não for totalmente limitado, então existe r > 0 tal que não é possível
>> cobrir X com uma coleção finita de bolas abertas de raio r. Isto implica,
>> por meio de um raciocínio indutivo, wue existe em X uma sequência infinita
>> (x_n) tal que a distância entre quaisquer 2 elementos distintos de K = {x_1,
>> x_2, x_3, ....} é >= r. K não tem pontos de acumulação, logo é fechado, além
>> de ser infinito. Se definirmos f de K em R por f(x_n) = n, obtemos uma
>> função ilimitada e trivialmente contínua, pois K não possui pontos de
>> acumulação. É possível chamar o Teorema da Extensão de Tietze para
>> estendermos f para X obtendo uma função contínua e ilimitada? Eu estou
>> empacado aqui. Não sei se estou no caminho certo.
>
> Bom, não precisa disso tudo, eu acho. Claro que a idéia é por aí, mas
> dá pra "fazer na mão".
>
> Considere as seguintes funções (de Uryson) : g_n = 1 em x_n, g_n(x) =
> 0 para d(x,x_n) > r/3. Defina agora a função
> g(x) = soma n*g_n(x)
>
> 1) A soma é localmente finita.
> Com efeito, se g_n(x) e g_m(x) são diferentes de zero, d(x,x_m) < r/3
> e d(x,x_n) < r/3, logo d(x_m,x_n) < 2r/3, absurdo.
>
> 2) A convergência é, portanto, localmente uniforme.
> Em cada ponto x, existe uma vizinhança V(x) onde a soma contém um termo.
>
> 3) Logo a função limite g(x) é contínua
>
>
> Eu acho que dá pra adaptar essa idéia pra mostrar o TET com f: K -> R
> ilimitada, partindo apenas do caso f : K -> [0,1]. Tipo uma seqüência
> crescente K_n = f^(-1)[0,n], funções h_n extensões de f restrita a
> K_n, etc. O detalhe chato é garantir que as extensões sucessivas são
> compatíveis, o que foi fácil no meu caso, porque K era totalmente
> descontínuo. Mas acho que, na verdade, basta estender f a fechados
> cada vez maiores. Assim, h_n não é compatível com h_{n+1} em F_n (uma
> outra seq de compactos, contendo os K_n e cada vez mais do X), mas é
> em F_{n-1}. Assim, a gente teria uma "convergência uniforme em todos
> os compactos" de X, e portanto o limite é contínuo. Tem que formalizar
> um pouco mais.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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