1) Suponha, por contradicao, que 2^(x1)+2^(x2)+...+2^(xn)=2^A para
x1,x2,...,xn naturais distintos (suponha s.p.d.g. que x1<x2<...<xn=B e que
n>=2).
Por um lado, A>B, porque o lado esquerdo eh claramente maior que 2^B; entao
A>=B+1.
Por outro lado, mesmo que voce use TODAS as potencias de 2 ateh 2^B, nao
chega a 2^A. De fato, o lado esquerdo eh menor ou igual a:
1+2+2^2+...+2^B=2^(B+1)-1<2^(B+1)<=2^A (usei soma dos termos da P.G. ali).
Entao realmente nao tem como valer a igualdade.
2) Pois eh, como voce viu, m-48=2^a e m+48=2^(a+b) onde b>0 (pois
m+48>m-48). Para mostrar que seu par eh o unico que presta, faca a
subtracao, como voce disse, e fatore:
2^a (2^b-1) = 96
Agora, 2^a SOH TEM FATORES 2, enquanto 2^b-1 eh impar e portanto NAO TEM
FATORES 2. Entao, 2^a tem que ser TODA a "parte potencia de 2" na fatoracao
de 96=(2^5) * 3, enquanto 2^b-1 tem que ser TODA a parte impar (isto eh,
3). Entao, a unica solucao eh a=5 e b=2, como voce havia dito.
Abraco,
Ralph
2013/5/27 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>
> 1) Gostaria de saber se a soma de duas ou mais potencias de base 2
> distintas pode ser uma potencia de base 2.
>
> Acredito que não e escrevendo esses números na base 2 talvez se possa
> mostrar isso.
>
> 2) Desconfio que 2304 + 2^n é um quadrado perfeito para um único valor
> de n.
>
> Eu fiz 2^n = (m + 48)(m - 48)
> m + 48 e m - 48 devem ser potencias de base 2
> As únicas potencias de base 2 cuja diferença é 96 são 128 e 32
> Dai o único valor de n seria 12
> Um esclarecimento seria muito bem vindo
>
> Desde já agradeço
>
>
>
