Em 31 de maio de 2013 10:13, terence thirteen
<peterdirich...@gmail.com>escreveu:
>
>
>
> Em 29 de maio de 2013 00:24, Jeferson Almir
> <jefersonram...@gmail.com>escreveu:
>
> Aproveitando o momento tenho pensado nestes 2 problemas há tempos:
>>
>> 1. Prove que para todo inteiro positivo a>1 existem infinitos inteiros
>> positivos n tais n/aˆ(n)+1.
>>
>> 2. Prove que existe uma potência de 2 cujos k primeiros algarismos da
>> direita para esquerda são iguais a 0 ou 1.
>>
>>
> Você quer dizer da esquerda pra direita, não?
>
> Bem, eu lembro de que isto era basicamente uma desigualdade usada junto
> com o Lema de Kronecker. Eu vou ver se acho a solução...
>
>
Eis!
Para escrever menos, seja M=111111...111 com K algarismos (não precisamos
da fórmula fechada).
Basicamente o que queremos demonstrar é que, dado N existe L=f(N) tal que
M * 10^L < 2^N < (M+1) * 10^L
Aplica log:
log(M)+L*log 10 < N*log 2 < log(M+1)+L*log 10
log(M) < N*log 2 - L*log 10 < log(M+1)
A ideia agora é um tanto simples: as partes inteiras de log(M+1) e log(M)
são iguais - de fato, a diferença entre eles deve ser um número muito, mas
muito pequeno. Assim, nossa ideia é achar N tal que N*log(2) se encaixe no
intervalo [log(M), log(M+1)].
MAS o Lema de Kronecker afirma que f(n)={n*log(2)} é densa em [0,1]. Pondo
de outra forma:
Dado um real X em [0,1], e uma tolerância e, existem infinitos n tal que
|X-f(n)|<e
Em especial existe um N tal que a distância entre f(N) e {log(M)} seja
ínfima, o quanto se queira:
log(M) < [logM] + f(N) + e < log(M+1)
log(M) < [logM] + N*log2-[N*log2] + e < log(M+1)
log(M) < N*log2 + ([logM] -[N*log2] + e) < log(M+1)
Basta agora escolher um L adequado para 'igualar' os parênteses :P
Depois eu dou uma formalizada...
>
>
>> Esse foi o meu primeiro contato com T.N apresentado pelo professor Luiz
>> Amancio em sua passagem por Fortaleza e desde então nunca mais fui o mesmo.
>> Desde ja agradeço qualquer ajuda.
>>
>>
>> Em 27 de maio de 2013 20:23, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> 1) Suponha, por contradicao, que 2^(x1)+2^(x2)+...+2^(xn)=2^A para
>>> x1,x2,...,xn naturais distintos (suponha s.p.d.g. que x1<x2<...<xn=B e que
>>> n>=2).
>>>
>>> Por um lado, A>B, porque o lado esquerdo eh claramente maior que 2^B;
>>> entao A>=B+1.
>>> Por outro lado, mesmo que voce use TODAS as potencias de 2 ateh 2^B, nao
>>> chega a 2^A. De fato, o lado esquerdo eh menor ou igual a:
>>> 1+2+2^2+...+2^B=2^(B+1)-1<2^(B+1)<=2^A (usei soma dos termos da P.G.
>>> ali).
>>>
>>> Entao realmente nao tem como valer a igualdade.
>>>
>>> 2) Pois eh, como voce viu, m-48=2^a e m+48=2^(a+b) onde b>0 (pois
>>> m+48>m-48). Para mostrar que seu par eh o unico que presta, faca a
>>> subtracao, como voce disse, e fatore:
>>>
>>> 2^a (2^b-1) = 96
>>>
>>> Agora, 2^a SOH TEM FATORES 2, enquanto 2^b-1 eh impar e portanto NAO TEM
>>> FATORES 2. Entao, 2^a tem que ser TODA a "parte potencia de 2" na fatoracao
>>> de 96=(2^5) * 3, enquanto 2^b-1 tem que ser TODA a parte impar (isto eh,
>>> 3). Entao, a unica solucao eh a=5 e b=2, como voce havia dito.
>>>
>>> Abraco,
>>> Ralph
>>>
>>>
>>> 2013/5/27 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>
>>>
>>>> 1) Gostaria de saber se a soma de duas ou mais potencias de base 2
>>>> distintas pode ser uma potencia de base 2.
>>>>
>>>> Acredito que não e escrevendo esses números na base 2 talvez se possa
>>>> mostrar isso.
>>>>
>>>> 2) Desconfio que 2304 + 2^n é um quadrado perfeito para um único
>>>> valor de n.
>>>>
>>>> Eu fiz 2^n = (m + 48)(m - 48)
>>>> m + 48 e m - 48 devem ser potencias de base 2
>>>> As únicas potencias de base 2 cuja diferença é 96 são 128 e 32
>>>> Dai o único valor de n seria 12
>>>> Um esclarecimento seria muito bem vindo
>>>>
>>>> Desde já agradeço
>>>>
>>>>
>>>>
>>>
>>>
>>
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> 神が祝福
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> Torres
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神が祝福
Torres
