Aproveitando o momento tenho pensado nestes 2 problemas há tempos: 1. Prove que para todo inteiro positivo a>1 existem infinitos inteiros positivos n tais n/aˆ(n)+1.
2. Prove que existe uma potência de 2 cujos k primeiros algarismos da direita para esquerda são iguais a 0 ou 1. Esse foi o meu primeiro contato com T.N apresentado pelo professor Luiz Amancio em sua passagem por Fortaleza e desde então nunca mais fui o mesmo. Desde ja agradeço qualquer ajuda. Em 27 de maio de 2013 20:23, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu: > 1) Suponha, por contradicao, que 2^(x1)+2^(x2)+...+2^(xn)=2^A para > x1,x2,...,xn naturais distintos (suponha s.p.d.g. que x1<x2<...<xn=B e que > n>=2). > > Por um lado, A>B, porque o lado esquerdo eh claramente maior que 2^B; > entao A>=B+1. > Por outro lado, mesmo que voce use TODAS as potencias de 2 ateh 2^B, nao > chega a 2^A. De fato, o lado esquerdo eh menor ou igual a: > 1+2+2^2+...+2^B=2^(B+1)-1<2^(B+1)<=2^A (usei soma dos termos da P.G. ali). > > Entao realmente nao tem como valer a igualdade. > > 2) Pois eh, como voce viu, m-48=2^a e m+48=2^(a+b) onde b>0 (pois > m+48>m-48). Para mostrar que seu par eh o unico que presta, faca a > subtracao, como voce disse, e fatore: > > 2^a (2^b-1) = 96 > > Agora, 2^a SOH TEM FATORES 2, enquanto 2^b-1 eh impar e portanto NAO TEM > FATORES 2. Entao, 2^a tem que ser TODA a "parte potencia de 2" na fatoracao > de 96=(2^5) * 3, enquanto 2^b-1 tem que ser TODA a parte impar (isto eh, > 3). Entao, a unica solucao eh a=5 e b=2, como voce havia dito. > > Abraco, > Ralph > > > 2013/5/27 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com> > >> 1) Gostaria de saber se a soma de duas ou mais potencias de base 2 >> distintas pode ser uma potencia de base 2. >> >> Acredito que não e escrevendo esses números na base 2 talvez se possa >> mostrar isso. >> >> 2) Desconfio que 2304 + 2^n é um quadrado perfeito para um único valor >> de n. >> >> Eu fiz 2^n = (m + 48)(m - 48) >> m + 48 e m - 48 devem ser potencias de base 2 >> As únicas potencias de base 2 cuja diferença é 96 são 128 e 32 >> Dai o único valor de n seria 12 >> Um esclarecimento seria muito bem vindo >> >> Desde já agradeço >> >> >> > >
