Formalize usando indução finita. i) Dados 3 pontos no plano, não colineares, é bem claro que são 3 retas distintas.
ii) Suponha que a afirmação é verdadeira para N=k (isto é, k pontos no plano não-colineares determinam pelo menos k retas distintas). Tome k+1 pontos não-colineares. Escolha um deles, digamos P, e olhe para os k restantes. -- Se os k restantes forem colineares, não dá para usar a hipótese de indução, mas não precisa -- o argumento do Guilherme mostra que temos k+1 retas distintas por estes pontos. -- Senão, são k pontos não colineares; por hipótese de indução, eles determinam pelo menos k retas distintas! ---- Se ALGUMA das k retas não passar por P, pegue um ponto desta reta, ligue-o a P e monte assim a k+1-ésima reta. ---- Se as k retas passarem por P, putz grila, você é muito azarado! Mas tudo bem -- pegue duas dessas retas (ok pois k>=2), pegue um ponto (dos k "antigos") em cada uma e voilá!, temos uma nova reta ("nova" pois ela não passa por P). Obs.: "Determinam" aí em cima significa "tem pelo menos dois pontos desses na reta". Abraço, Ralph 2013/6/2 Guilherme Sales <gdc...@gmail.com> > Uma ideia: > > na pior das hipóteses, N-1 pontos estão na mesma reta (N-1 >= 2) e o > N-ésimo está fora (pela hipótese de que não são todos colineares). > > Você tem então: a reta com os N-1 pontos e N-1 retas distintas que cada um > desses determina com o que ficou de fora; então há pelo menos N retas > distintas passando por pelo menos dois pontos. > > Acho que formalizar os detalhes não deve ser difícil. > > Guilherme > > > Em 2 de junho de 2013 22:05, Cláudio Thor <claudiot...@hotmail.com>escreveu: > > Alguém poderia me ajudar neste problema. >> >> Dados N pontos no plano, com N maior ou igual a 3, com a restrição de que >> nem todos estão na mesma linha, demonstre que o conjunto das linhas que >> passam por pelo menos dois pontos tem tamanho maior ou igual a N. >> >> Agradeço de já. >> >> Claudio >> > >