Obrigado.
Guilherme e Ralph
Date: Mon, 3 Jun 2013 13:38:01 -0300
Subject: Re: [obm-l] Duvidas
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Formalize usando indução finita.
i) Dados 3 pontos no plano, não colineares, é bem claro que são 3 retas
distintas.
ii) Suponha que a afirmação é verdadeira para N=k (isto é, k pontos no plano
não-colineares determinam pelo menos k retas distintas).
Tome k+1 pontos não-colineares. Escolha um deles, digamos P, e olhe para os k
restantes.-- Se os k restantes forem colineares, não dá para usar a hipótese de
indução, mas não precisa -- o argumento do Guilherme mostra que temos k+1 retas
distintas por estes pontos.
-- Senão, são k pontos não colineares; por hipótese de indução, eles determinam
pelo menos k retas distintas!---- Se ALGUMA das k retas não passar por P, pegue
um ponto desta reta, ligue-o a P e monte assim a k+1-ésima reta.
---- Se as k retas passarem por P, putz grila, você é muito azarado! Mas tudo
bem -- pegue duas dessas retas (ok pois k>=2), pegue um ponto (dos k "antigos")
em cada uma e voilá!, temos uma nova reta ("nova" pois ela não passa por P).
Obs.: "Determinam" aí em cima significa "tem pelo menos dois pontos desses na
reta".
Abraço, Ralph
2013/6/2 Guilherme Sales <gdc...@gmail.com>
Uma ideia:
na pior das hipóteses, N-1 pontos estão na mesma reta (N-1 >= 2) e o N-ésimo
está fora (pela hipótese de que não são todos colineares).
Você tem então: a reta com os N-1 pontos e N-1 retas distintas que cada um
desses determina com o que ficou de fora; então há pelo menos N retas distintas
passando por pelo menos dois pontos.
Acho que formalizar os detalhes não deve ser difícil.
Guilherme
Em 2 de junho de 2013 22:05, Cláudio Thor <claudiot...@hotmail.com> escreveu:
Alguém poderia me ajudar neste problema.
Dados N pontos no plano, com N maior ou igual a 3, com a restrição de que nem
todos estão na mesma linha, demonstre que o conjunto das linhas que passam por
pelo menos dois pontos tem tamanho maior ou igual a N.
Agradeço de já.
Claudio
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