Olá, Marcone, tudo bem? Estou supondo que "todos os algarismos foram usados" significa que todos os seguintes algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 aparecem.
Queremos que a soma da quantidade de dígitos de x e x^2 seja igual a 10. Como a quantidade de digitos de um número é igual a floor(log10(x)) + 1, temos: floor(log10(x)) + 1 + floor(log10(x^2)) + 1 = 10 floor(log10(x)) + floor(2*log10(x)) = 8 Como floor(2*log10(x)) só pode ser igual a 2*floor(log10(x)) ou floor(log10(x)) + 1, temos dois possíveis casos: Caso 1: floor(2*log10(x)) = 2*floor(log10(x)) 3*floor(log10(x)) = 8 floor(log10(x)) = 8/3 [impossível] Caso 2: floor(2*log10(x)) = 2*floor(log10(x)) + 1 3*floor(log10(x)) = 7 floor(log10(x)) = 7/3 [impossível] Portanto, não existe tal número. Só para confirmar, fiz o seguinte: Seja x um representante desses números. Então: x^2 < 9876543210 => x < 99380 Fiz um programa em python que testou todos os números inteiros até 99380 e realmente nenhum satisfez tal propriedade. Se abrirmos mão do zero, isso é, considerar que todos os algarismos são 1, 2, 3, ..., 9, temos que: floor(log10(x)) + floor(2*log10(x)) = 7 Caso 1: 3*floor(log10(x)) = 7 [impossível] Caso 2: 3*floor(log10(x)) = 6 => floor(log10(x)) = 2, e nossos candidatos são os inteiros entre 100 e 999 que satisfazem floor(2*log10(x)) = 2*floor(log10(x)) + 1. Assim, nossos candidatos são os inteiros que satisfazem log10(x) >= 2.5, logo, x >= 10^(2.5) = 316,22. Portanto, nossos candidatos são os inteiros entre 317 e 999. Por enquanto, nosso espaço de busca contém 683 números. Mas ainda temos que tirar os que já tem dígitos repetidos. Como x^2 mod10 == (x mod10)^2 mod10, x não pode terminar em 1, 5 ou 6, pois o último digito de x^2 seria igual ao último digito de x, violando a regra de cada digito aparecer uma única vez. Assim, nosso espaço de busca são inteiros em 317 e 987, terminando em 2, 3, 4, 7, 8, 9, sem dígitos repetidos. Tentei escrever x = 100a + 10b + c, calculei x^2, mas não consegui avançar. Fiz um programinha em Python pra testar esses números apenas. As únicas soluções são: 567 e 854. De fato, 567^2 = 321489 e 854^2 = 729316. Abraços, Salhab 2015-03-01 13:45 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com>: > Para escrever um número natural e seu quadrado todos os algarismos foram > usados, cada um deles uma única vez. > Determine todos números que satisfazem tal propriedade. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
