Bom dia! Se (p-1) | k, por Euler Fermat temos que todas parcelas são côngruas a 1 (mod p) e como são (p-1) parcelas a soma será côngrua a (p-1) ≡ -1 (modp)
Se (p-1) ∤ k. Temos que existe q que é uma raiz primitiva de p. Se p é primo. Se g é raiz primitiva de m então ordm g = Ф(m) -1. Pelo lema: se g é raiz primitiva de m então: (Z/mZ)* = {1,g,g^2,...,g^(Ф(m) -1.)}, ou seja, qualquer côngruo a tal que mdc(a,m) = 1 pode ser escrito como uma potência de g. Não sei como colaocar a barrinha das classes de equivalência sobre os elementos de (Z/Zm). Portanto: S = 1^k + 2^k +...+(p-1)^k ≡ (1)^k + (g^)^k + (g^2)^k +... +(g^(Ф(p) -1)^k (mod p) ==> ==> S ≡ (1)^k + (g)^k + (g)^(2k) +... +g^((p-2)k) (mod p) Multiplicando-se ambos os lados por g^k obtem-se: g^k S ≡ g^k ((1)^k + (g)^k + (g)^(2k) +... +g^((p-2)k)) (mod p) g^k S ≡ g^k + g^2k + g^3k +...+ g^((p-1)k) (mod p) Mas por Euler Fermat: g^((p-1)k) ≡ 1 (mod p) ==> g^k S ≡ S (mod p) ==> S(g^k-1) ≡ 0 (mod p) ==> g^k ≡ 1 (mod p) ou S ≡ 0 (mod p) g^k ≡ 1 (mod p), mas como g é raiz primitiva e (p-1) ∤ k ==> absurdo. logo S≡ 0 (mod p) Mais detalhes e demosntrações: http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf Saudações, PJMS Em 5 de maio de 2015 09:53, Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com> escreveu: > Alguém pode ajudar com este? Não consegui chegar lá. > Mostre que > > 1^k + 2^k .... + (p - 1)^k = = -1 (mod p) se if (p -1)|k e == 0 caso > contrário. > > p e k inteiros positivos. == significa congruente a. > > Uma sugestão que vi é considerar raízes primitivas. > > > Obrigado. > > Artur Costa Steiner > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.