Boa tarde!
A demonstração é do Eduardo Tengam, se não o for, foi lá que aprendi. O
artigo que mostrei o caminho é interessante.
Saudações,
PJMS.
Em 5 de maio de 2015 14:10, Marcos Martinelli <mffmartine...@gmail.com>
escreveu:
> É verdade.
>
> Minha "demonstração" foi para um caso particular mesmo.
>
> Já conhecia a versão desse problema para p primo diferente de 2... :) !
>
> Mais tarde vou tentar estudar a sua demonstração.
>
> Obrigado.
>
> Em 5 de maio de 2015 14:00, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Marcos Martinelli,
>>
>> p=2 também atende.
>>
>> p=2 ==> S ≡ 1 ≡ -1 (mod 2) atende ao se (p -1)|k então S≡ -1 (modp)
>>
>> se *(p-1) ∤ k então S **≡ 0 (modp)* também é atendido.
>>
>> Pois tomando a negativa da assertiva acima temos: *(p-1) **∤ k e S não é
>> côngruo 0 (mod p)*
>> Como p=2 ==> 1 | k, para todo k Ɛ Z. Então (p-1) ∤ k não pode ser
>> atendido e a negativa e falsa. Portanto *(p-1) ∤ k então S **≡ 0 (modp)*
>> é verdadeira.
>>
>> Não é necessário restringir para p Ɛ |P e p Ɛ 2Z+1. p=2 atende.
>>
>>
>> Saudações,
>>
>> PJMS
>>
>>
>> Em 5 de maio de 2015 11:55, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Se (p-1) | k, por Euler Fermat temos que todas parcelas são côngruas a 1
>>> (mod p) e como são (p-1) parcelas a soma será côngrua a (p-1) ≡ -1
>>> (modp)
>>>
>>> Se (p-1) ∤ k.
>>>
>>> Temos que existe q que é uma raiz primitiva de p. Se p é primo.
>>> Se g é raiz primitiva de m então ordm g = Ф(m) -1.
>>>
>>> Pelo lema: se g é raiz primitiva de m então: (Z/mZ)* = {1,g,g^2,...,g^(Ф(m)
>>> -1.)}, ou seja, qualquer côngruo a tal que mdc(a,m) = 1 pode ser escrito
>>> como uma potência de g. Não sei como colaocar a barrinha das classes de
>>> equivalência sobre os elementos de (Z/Zm).
>>>
>>> Portanto: S = 1^k + 2^k +...+(p-1)^k ≡ (1)^k + (g^)^k + (g^2)^k +... +(
>>> g^(Ф(p) -1)^k (mod p) ==>
>>>
>>> ==> S ≡ (1)^k + (g)^k + (g)^(2k) +... +g^((p-2)k) (mod p)
>>>
>>> Multiplicando-se ambos os lados por g^k obtem-se:
>>>
>>> g^k S ≡ g^k ((1)^k + (g)^k + (g)^(2k) +... +g^((p-2)k)) (mod p)
>>> g^k S ≡ g^k + g^2k + g^3k +...+ g^((p-1)k) (mod p)
>>>
>>> Mas por Euler Fermat: g^((p-1)k) ≡ 1 (mod p) ==> g^k S ≡ S (mod p)
>>> ==> S(g^k-1) ≡ 0 (mod p) ==> g^k ≡ 1 (mod p) ou S ≡ 0 (mod p)
>>>
>>> g^k ≡ 1 (mod p), mas como g é raiz primitiva e (p-1) ∤ k ==> absurdo.
>>> logo S≡ 0 (mod p)
>>>
>>> Mais detalhes e demosntrações:
>>> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Em 5 de maio de 2015 09:53, Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>
>>> escreveu:
>>>
>>>> Alguém pode ajudar com este? Não consegui chegar lá.
>>>> Mostre que
>>>>
>>>> 1^k + 2^k .... + (p - 1)^k = = -1 (mod p) se if (p -1)|k e == 0 caso
>>>> contrário.
>>>>
>>>> p e k inteiros positivos. == significa congruente a.
>>>>
>>>> Uma sugestão que vi é considerar raízes primitivas.
>>>>
>>>>
>>>> Obrigado.
>>>>
>>>> Artur Costa Steiner
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>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>
>>>
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