Ola' Bernardo, usando a mesma pintura de um tabuleiro de xadrez, temos a diagonal principal branca, e a diagonal secundaria preta.
No caso dessa matriz 4x4, uma forma de se visualizar os termos que devem ser multiplicados entre si (para obtermos cada uma das 8 parcelas do determinante) e' a seguinte: a gente escreve 2 vezes a mesma matriz (uma ao lado da outra), e entao tomamos os 4 termos da diagonal principal, e tambem os 4 termos de mais 3 linhas paralelas 'a diagonal principal (que, a exemplo do tabuleiro de xadrez, tambem vou chamar de diagonais); e depois executamos um procedimento semelhante com a diagonal secundaria, obtendo as 8 parcelas a serem somadas. Pois bem, suponhamos que os termos da diagonal principal sejam diferentes de zero. Para conseguirmos o determinante maximo, devemos tentar construir o maior numero de parcelas diferentes de zero, e isto implica em "reaproveitarmos" (no calculo dessas outras parcelas) alguns dos termos que colocamos na diagonal principal. Como a diagonal principal e' branca, todos os 4 termos (diferentes de zero) restantes tambem devem ser colocados em casas brancas (pois se uma diagonal contem algum termo da diagonal principal, entao ela tambem e' branca). Agora, sabemos*** (vide obs) que as casas pretas sao zero, e fica claro que o teto para o valor maximo e' 4. Entao, o problema passa a ser como distribuir "+1" e "-1" entre as casas brancas, de modo que todas as parcelas contribuam positivamente. A diagonal principal pode ser 1,1,1,1 ou -1,-1,-1,-1 ou 1,-1,-1,1 ou 1,-1,1,-1. (as outras combinacoes sao equivalentes). E, a partir deste ponto, eu fiz por inspecao. OBS: sabemos*** : de fato nao sabemos, estamos apenas chutando, e sendo otimistas. Poderia ser que esse procedimento nos levasse sempre a um determinante igual a zero, por exemplo. O que realmente sabemos e' que o teto e' 4, e caso seja possivel alcanca-lo, o caminho e' este. []'s Rogerio Ponce 2015-08-19 6:54 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com>: > 2015-08-18 23:56 GMT-03:00 Rogerio Ponce <abrlw...@gmail.com>: > > Ola' Eduardo Henrique, > > imagine o quadrado 4x4 pintado como um tabuleiro de xadrez. > > Para aproveitarmos ao maximo os valores diferentes de zero, eles precisam > > estar todos nas 8 casas de mesma cor. > > Faz um certo sentido, mas eu não sei muito bem porquê. Ainda mais, > como o determinante é invariante por permutação de linhas e colunas (a > menos de sinal), se você trocar a segunda linha com a terceira, e a > segunda coluna com a terceira, o determinante é igual mas o padrão > muda. > > > Entao o problema se transforma em distribuir estes 8 valores de forma > que as > > 4 parcelas (diferentes de zero) sejam "favoraveis". > > Assim, o maior valor do determinante seria 4, mas precisamos conseguir > uma > > arrumacao conveniente. > > Esta daqui, por exemplo, e' suficiente: > > 1 0 1 0 > > 0 -1 0 -1 > > 1 0 -1 0 > > 0 -1 0 1 > > > > []'s > > Rogerio Ponce > > Eu fiz as contas no computador, e realmente o máximo do determinante é > 4. Eu estou pensando num argumento com "volumes". O determinante de > uma matriz é sempre menor do que o produto das normas dos vetores > linha (ou coluna) dela. Assim, como temos 8 números diferentes de > zero, faz sentido botar dois em cada linha para que a norma de cada > uma seja raiz(2), e daí o produto é 4. Se não fizermos isso, alguma > linha fica com "mais" e outra com menos. Como toda linha tem que ter > pelo menos um diferente de zero (senão o det=0), ficam as > possibilidades (para os quadrados) > > 2,2,2,2 -> prod = 16, det = 4 > 3,2,2,1 -> prod = 12, det = 2 raiz(3) > 3,3,1,1 -> prod = 9, det = 3 > > Isso mostra que o det <= 4, qualquer que seja o caso, e daí "basta" > achar um caso em que dá certo. > > Quanto mais "iguais", maior o produto (tem uma desigualdade das médias > escondida?) > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
