Bom dia!
O fato de haver um múltiplo para cada fator do fatorial não garante a
divisibilidade, posto que os múltiplos não são necessariamente diferentes e
nem todos os pares de fatores tem mdc igual a 1.
Se zero fizer parte da sequência, está provado. pois n! | 0 para todo n.
Veremos agora as sequências em que o zero não faz parte.
O produto de uma sequência de inteiros positivos, consecutiva de a-n+1, a
-n+2 ... a-1, a dividido por n! é o número combinatório de a n a n. C(a,n);
portanto inteiro. Caso seja uma sequência de fatores negativos, o produto
será (-1)^n. P, onde P é o produto dos módulos dos fatores da sequência, e
por conseguinte também é múltiplo de n!.
De outra forma, se fatorarmos n!
Temos que para cada p, primo, p<= n, que o expoente, a, de p na fatoração
é:
a = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... e embora a série seja infinita a parir
de uma dada parcela todos os termos são zero e {z] é a função parte inteira
de z.
Seja Y= (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x => Y = x!/(x-n)!, com x-n+1>= 1
Seja b o expoente da fatoração de Y, c o expoente da fatoração de x! e d o
expoente da fatoração de (x-n)!.
Então, b= c-d.
c= [x/p] + [x/p^2] + [x/p^3] + ...
d= [(x-n)/p] + [(x-n)/p^2] + [(x-n)/p^3] + ...
x = r mod p^w, w um inteiro positivo e p, primo e p <= n e 0<= r <p^w
n = s mod p^w e 0<= s <p^w
temos que x= q1*p^w + r e n= q2*p^w+s
Então [x/p^w] = q1, [n/p^w]=q2
[(x-n)/p^w] = [(q1-q2)*p^w+r-s] = q1-q2 se r>=s e q1-q2-1 se r<s.
Então [x/p^w] - [(x-n)/p^w] = q2 se r>=s e q2 +1 se r<s.==> [x/p^w] -
[(x-n)/p^w >= [n/p^w]=q2
Se cada parcela de a é menor ou igual que cada subtração das parcelas
correspondentes de c-d, temos que para todo p <= n o expoente de p na
fatoração de n! é menor ou igual que o expoente correspondente a p na
fatoração de Y.
Se for uma sequência de termos negativos, vale a mesma observação destacada
acima.
Então n! | (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x, para qualquer x.
Saudações,~
PJMS
Em 4 de novembro de 2016 06:03, Guilherme Oliveira <
guilhermeoliveira5...@gmail.com> escreveu:
> Verdade, tem isso.
>
> Talvez seja melhor mudar de estratégia.
> Imagine um número primo p < n. Como a sequência de n! começa em 1, só
> teremos o primeiro múltiplo de p na p-ésima posição. Somente por causa
> disso a divisão dá certo. Se kp é o maior multiplo de p menor que n,
> teremos pelo menos k fatores p na sequência. O mesmo raciocínio pode ser
> feito para p^2, p^3, .... , o que completa o número de fatores p na
> sequência necessários para que ela seja divisível por n!.
>
> Isso também explica porque uma sequencia p não é necessariamente divisível
> por outra sequência q.
>
> Em 04/11/2016 05:16, "Tássio Naia" <t...@polignu.org> escreveu:
>
>> > n! contém um de cada fator anSe pegarmos uma sequência de n inteiros,
>> temos a certeza de que há pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que
>> k<n. Isso é válido para to k que seja um fator de n!tes dele. Seja k como
>> um desses desses fatores (k<n). Ele terá um múltiplo a cada k inteiros
>> consecutivos, começando por 0.
>> > Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há pelo
>> menos um múltiplo de k entre eles, já que k<n. Isso é válido para to k que
>> seja um fator de n!
>>
>> Mas e se k, k', com 1< k < k' <= n têm o *mesmo* múltiplo no intervalo p,
>> p+1, ... , p + n -1 ? (Por exemplo, k=2, k' = 4)
>>
>> 2016-11-03 22:52 GMT+00:00 Guilherme Oliveira <
>> guilhermeoliveira5...@gmail.com>:
>>
>>> Boa noite, Israel.
>>>
>>> n! contém um de cada fator antes dele. Seja k como um desses desses
>>> fatores (k<n). Ele terá um múltiplo a cada k inteiros consecutivos,
>>> começando por 0.
>>>
>>> Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há pelo
>>> menos um múltiplo de k entre eles, já que k<n. Isso é válido para to k que
>>> seja um fator de n!
>>>
>>> Portanto, Essa sequência é divisível por n!
>>>
>>> Em 3 de novembro de 2016 12:59, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n
>>>> inteiros consecutivos
>>>>
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>>> *“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho
>>> original.”*
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>>> *Albert Eistein*
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