Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).... (1).A desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>> (x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz >>>> (x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz.... (2) Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo com lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos (x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)<x³+y³+z³ >>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz) Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2, temos: sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz)) Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2} (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz))
Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos a³+b³+c³-3abc<sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz)) Desfazendo a substituição, teremos que 2x³+2y³+2z³-12xyz<x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz) (3) Somando (3) com (1), obtemos: xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz) Que é equivalente a xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto, mas acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido. Em 14 de agosto de 2017 14:39, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Como posso prova para x,y,z positivos que x^3+y^3+z^3+3xyz>=xy(x+y)+xz( > x+z)+yz(y+z). > > Douglas Oliveira . > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.