Corrigindo alguns pontos.
Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).... (1).A
desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>>
(x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz
>>>>
(x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz.... (2)
Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz
Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo com
lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos
(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)<x³+y³+z³
>>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<x³+y³+z³
-(x+y+z)(xy+xz+yz)
Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2, temos:
sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³
-(x+y+z)(xy+xz+yz))
Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2}
(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz))
Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos
a³+b³+c³-3abc<sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz))
Desfazendo a substituição, teremos que
2x³+2y³+2z³-12xyz<x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz) (3)
Somando (3) com (1), obtemos:
xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz)
Que é equivalente a
xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz
O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo
x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto, mas
acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido.
Saudações, Israel Meireles Chrisostomo.
Em 16 de agosto de 2017 14:30, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).... (1).A
> desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>>
> (x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz
> >>>>
> (x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz.... (2)
> Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz
> Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo com
> lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos
> (x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)<x³+y³+z³
> >>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<x³+y³+z³
> -(x+y+z)(xy+xz+yz)
> Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2, temos:
> sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³
> -(x+y+z)(xy+xz+yz))
> Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2}
> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz))
>
> Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos
> a³+b³+c³-3abc<sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz))
> Desfazendo a substituição, teremos que
> 2x³+2y³+2z³-12xyz<x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz) (3)
> Somando (3) com (1), obtemos:
> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz)
> Que é equivalente a
> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz
> O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo
> x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto, mas
> acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido.
>
>
> Em 14 de agosto de 2017 14:39, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Como posso prova para x,y,z positivos que x^3+y^3+z^3+3xyz>=xy(x+y)+xz(x
>> +z)+yz(y+z).
>>
>> Douglas Oliveira .
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
--
Israel Meireles Chrisostomo
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
