O Bernardo já fez uma excelente explanação. Vou dar uma outra prova de que f é
um polinômio de grau n >= 1,
Para z em C /{0}, façamos g = f(1/z). g é meromorfa em C, tendo em z = 0 o seu
único
pólo, o qual tem ordem n >= 1.. Assim, g é dada em torno de 0 pela série de
Laurent em torno de 0
g(z) = Soma (k = -n, oo) c_k z^k, z em C/{0}, c_n <> 0
(Série de Laurent é uma generalizaçäo de série de potências para funçöes com
singularidades. Os expoentes dos termos podem ser negativos. No caso de séries
em torno de um pólo, há um número finito de termos com expoentes negativos.)
Entäo, para z <> 0
f(z) = g(1/z) = c_-n z^n ... + c_-1 z + c_0 + Soma (k = 1, oo) c_ k z^(-k)
Mas como f é inteira, a série acima é na realidade uma série de potências, de
modo que os coeficientes associados a termos com expoentes negativos são nulos.
Assim,
f(z) = c_-n z^n ... + c_-1 z + c_0 , z em C/{0}
Como f(0) existe em C e f é contínua em 0, entâo f(0) = lim z --> 0 f(z) = c_0
e temos assim
f(z) = c_-n z^n ... + c_-1 z + c_0 para todo z
Logo, f é um polinômio de grau n >= 1. Incrível, não? Isso näo acontece para
funções reais.
2) Eu conheço uma prova deste tipo, baseada no Teorema de Rouché (o da análise
complexa, não o da álgebra linear)
Seja P um polinômio de grau n >= 1 e façamos Q(z) = c z^n, onde c <> 0 é o
coeficiente líder de P. Então, Q tem n zeros em toda vizinhança de 0 e P - Q é
um polinômio de grau <= n - 1, Desta última condição segue-se que lim z —> oo
(P(z) - Q(z))/Q(z) = 0, havendo assim r0 tal que
|z| > r0 => |P(z) - Q(z)|/|Q(z)| < 1 e, portanto
|P(z) - Q(z)| < |Q(z)| (1) (notemos a desigualdade estrita)
Assim, para r > r0, (1) é satisfeita para todo z na periferia S do disco aberto
D(0, r). Como P e Q são inteiras e S é uma curva fechada e suave tal que Ind(S,
z) = 1 para z em D(0, 1) e Ind(S, z) = 0 para z em {z em C | |z| > r}, segue-
se do T. De Rouché que, em W = {z em C | Ind(S, z) = 1}, P e Q têm o mesmo
número de zeros. Como W = D(0, r), concluímos que, neste disco, P e Q têm o
mesmo número de zeros, ou seja, n zeros. E como isto vale para todo r > r0,
concluímos que P tem n zeros em todo o plano complexo C (se P tivesse mais de n
zeros em C, então, contrariamente ao que vimos, para algum r > r0 P teria mais
de n zeros em D(0, r).
Assim, provamos näo apenas que polinômios de de grau n >= 1 têm zeros, como
também que têm exatamente n zeros (contando suas ordens).
No Wikipedia há uma interessante explanação sobre o T. de Rouché, que se
baseia em curvas homotópicas.
Artur
Enviado do meu iPad
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