Uma prova quase imediata de que gosto muito baseia-se na fórmula integral de Cauchy.
Se p não se anular em C, 1/p é inteira. Aplicando à mesma a fórmula integral de Cauchy em torno de 0, temos, para todo r > 0, que Integral (sobre |z | = r) dz/(z p(z) = (2 pi i)/p(0) <> 0 (1) Mas pelas propriedades da integral, |Integral (sobre |z | = r) dz/(z p(z)| <= 2pi r M(r) sendo M(r) = máx(|z| = r) |1/(z p(z))| = 1/r máx(|z| = r) 1/|p(z)| Logo, |Integral (sobre |z| = r) dz/(z p(z)| <= 2 pi máx(|z = r) 1/|p(z)| —> 0 quando r —> oo, pois p é um polinômio não constante. Como isto conflita com (1), temos a prova. Artur Enviado do meu iPad Em 25 de mar de 2018, à(s) 4:41 PM, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > A meu ver, a demonstração mais simples do TFA é baseada no seguinte > resultado, devido a D’Alembert: > > Se p(z) é um polinômio complexo e p(a) <> 0, então existe h tal que > |p(a+h)| < |p(a)|. > > A demonstração deste resultado mostra que ele é válido pra qualquer > função holomorfa e não apenas polinômios. > > A idéia é mostrar que p(a+h) = p(a) + K*h + eps, onde: > K é um número complexo dependente de a > e > eps = o(h), > e daà escolher h tal que K*h tem direção oposta a p(a). > > Abs > > Enviado do meu iPhone > > Em 25 de mar de 2018, à (s) 15:19, Artur Steiner > <artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > >> OK! >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em Dom, 25 de mar de 2018 15:06, Carlos P. <carlosp...@outlook.com.br> >> escreveu: >>> Muito obrigado pelas respostas. >>> >>> Com relação à função exponencial, se fizermos z_n = 2n pi i, >>> então |z_n| --> oo quando n --> oo mas z_n = 1 para todo n, pois a exp >>> tem perÃÂodo 2 pi i. Logo, exp(z) não vai para oo quando |z| vai. Ok? >>> >>> Carlos >>> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de >>> Carlos P. <carlosp...@outlook.com.br> >>> Enviado: sábado, 24 de março de 2018 20:13:07 >>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br >>> Assunto: [obm-l] Teorema fundamental da álgebra >>>  >>> Boa noite! >>> >>> Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos >>> sobre o TFA. >>> >>> 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de >>> polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções >>> inteiras tais que lim z ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se >>> igualmente a qualquer inteira f tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? >>> Não está restrito a polinômios. >>> >>> 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a >>> existência de raÃÂzes, mostre que há exatamente n raÃÂzes, >>> contando suas ordens? Me informaram que há uma >>> >>> Muito obrigado >>> >>> Carlos >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
