De certa forma, o princípio da indução está implícito toda vez que você escreve "..." num somatório de 1 até n.
Mas concordo com sua crítica (se é que a entendi). Muitos problemas (talvez a maioria) do tipo "prove por indução" consistem de uma receita de bolo envolvendo algumas manipulações algébricas e, assim, não acrescentam praticamente nada ao repertório dos estudantes. Além disso, introduzem um formalismo excessivo que talvez não seja adequado no ensino médio. A meu ver, o princípio da indução deveria ser usado em problemas tais como: "conjecture uma fórmula para a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais e, depois, demonstre esta fórmula." Nestes casos, o trabalho interessante, criativo, está na formulação da conjectura. A demonstração, por indução, é apenas uma formalidade. Mas o fato é que nunca vi, fora de olimpíadas, problemas propostos neste formato "conjecture e demonstre". E nas olimpíadas, a diretiva "conjecture e demonstre" quase sempre está implícita. []s, Claudio. 2018-04-02 19:45 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: > Boa noite! > > Se tem que ser por indução???!!!! > > para n = 2 ==> a1 + a1 q < = q.a1q/(q-1) > a1(q+1) <=a1q^2/(q-1) com q>1 ==> a1(q+1)(q-1)<=a1q^2 ==> - a1<=0, o que > é verdade para a1>0 por premissa. > Supondo > Sn<=aq^n/(q-1) > > Sn+1 <= a.q^(n+1)/(q-1) > Sn +aq^n <= a.q^n/(q-1) * (1+q) > Sn + aq^n <= aq^n/(q-1) + aq^n. q/(q-1) > > Como Sn<=aq^n/(q-1) basta mostrar que aq^n <= aq^n. q/(q-1), que é óbvio > pis, q/(q-1) >1. > > Só não entendi o propósito. > > Sn = a1 + a1q + a1q^2 +... +a1q^(n-2)+a1q^(n-1) > Sn.q = a1q + a1q^2 +... +a1q^(n-2)+a1q^(n-1)+a1q^n > Sn(q-1) = a1q^n - a1= a1 (q^n-1) > Sn = a1(q^n-1)/(q-1) <=a1q^n/(q-1) > > Saudações, > PJMS. > > > Em 2 de abril de 2018 16:32, Luiz Antonio Rodrigues <rodrigue...@gmail.com > > escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Boa tarde! >> Estou quebrando a cabeça com o problema abaixo há alguns dias. Não >> consigo nem provar o caso para o primeiro elemento... >> Alguém pode me ajudar? >> Muito obrigado e um abraço! >> >> Prove que a soma dos n primeiros termos de uma P.G. crescente (com a1>0) >> obedece, para n>1 >> >> Sn<=(q.an)/(q-1) >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
