Agora, uma pergunta: E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas) entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão que termina por 9999...)? Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter (0,1) é enumerável? Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da lista). Como pode?
[]s, Claudio. 2018-04-17 22:52 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>: > Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues > <rodrigue...@gmail.com> escreveu: > > Olá, Ronei! > > Fiz essa pergunta para o Bernardo... > > Um abraço! > > Luiz > > > > > > On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró <rlbad...@gmail.com> > wrote: > >> > >> Não é a tal diagonal de Cantor? > > Sim, é este o nome. > > >> > >> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa > >> <bernardo...@gmail.com> escreveu: > >>> > >>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com>: > >>> > Olá, amigos! > >>> > Bom dia! > >>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho > que > >>> > eu > >>> > reproduzi abaixo. > >>> > > >>> > > >>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é > >>> > possível > >>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos. > >>> > (...) > >>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os > >>> > termos > >>> > são iguais a zero ou um. > >>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada > >>> > sequência de > >>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma > >>> > sequência s > >>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se > o > >>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1; > >>> > senão, é > >>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo > de s > >>> > é 1; > >>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) > >>> > como > >>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s > assim > >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). > Logo, > >>> > não > >>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os > >>> > elementos de > >>> > C aparecessem como imagem! > >>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de > >>> > construir uma > >>> > bijeção de N em C. > >>> > > >>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim > >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)." > >>> > >>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo. Claro que um > >>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada. > >>> > >>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma: > >>> 1 -> 0100101010101 > >>> 2 -> 010101010101 > >>> 3 -> 1111111111001 > >>> 4 -> 000000000000 > >>> 5 -> 1110111010101 > >>> > >>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de > >>> cada um dos elementos, um a um: > >>> > >>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1). > >>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um: > >>> > >>> s = 1.... > >>> > >>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é > 1): > >>> > >>> s = 10.... > >>> > >>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100... > >>> O quarto, s = 1001... > >>> O quinto, s = 10010 > >>> > >>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ... > >>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1). O > >>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante. > >>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei > >>> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria > >>> a sequência dos opostos. > >>> > >>> Abraços, > >>> -- > >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >>> > >>> > >>> ============================================================ > ============= > >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >>> ============================================================ > ============= > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
