Com certeza! Mas o que eu quero é uma prova DIRETA de que é impossível escolher os b(i) de modo que o número 0,b(1)b(2)b(3)... seja irracional.
[]s, Claudio. 2018-04-18 8:32 GMT-03:00 Thácio Hahn dos Santos <thaci...@gmail.com>: > Não se garante, neste caso, que todo número formado pelos b(i) seja > racional, não obtendo-se, portanto, a procurada bijeção entre racionais e > naturais. Ela pode ser obtida percorrendo diagonalmente uma tabela contendo > todas as frações, começando por 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3 ... na > primeira linha, 2/1, -2/3, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3 ... na segunda e assim por > diante. O conjunto das frações equivalentes como 1/2 e 2/4 é enumerável e > pode ser descartado, restando uma bijeção entre racionais e inteiros (que > são enumeráveis). > > Um abraço. > > On Wed, Apr 18, 2018, 7:58 AM Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> > wrote: > >> Agora, uma pergunta: >> >> E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas) >> entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão >> que termina por 9999...)? >> Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter >> (0,1) é enumerável? >> Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo >> b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da >> lista). >> Como pode? >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-04-17 22:52 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com> >> : >> >>> Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues >>> <rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> > Olá, Ronei! >>> > Fiz essa pergunta para o Bernardo... >>> > Um abraço! >>> > Luiz >>> > >>> > >>> > On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró <rlbad...@gmail.com> >>> wrote: >>> >> >>> >> Não é a tal diagonal de Cantor? >>> >>> Sim, é este o nome. >>> >>> >> >>> >> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> >> <bernardo...@gmail.com> escreveu: >>> >>> >>> >>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com>: >>> >>> > Olá, amigos! >>> >>> > Bom dia! >>> >>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho >>> que >>> >>> > eu >>> >>> > reproduzi abaixo. >>> >>> > >>> >>> > >>> >>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é >>> >>> > possível >>> >>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos. >>> >>> > (...) >>> >>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os >>> >>> > termos >>> >>> > são iguais a zero ou um. >>> >>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada >>> >>> > sequência de >>> >>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma >>> >>> > sequência s >>> >>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: >>> se o >>> >>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1; >>> >>> > senão, é >>> >>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo >>> de s >>> >>> > é 1; >>> >>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) >>> >>> > como >>> >>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s >>> assim >>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). >>> Logo, >>> >>> > não >>> >>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os >>> >>> > elementos de >>> >>> > C aparecessem como imagem! >>> >>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de >>> >>> > construir uma >>> >>> > bijeção de N em C. >>> >>> > >>> >>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim >>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)." >>> >>> >>> >>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo. Claro que um >>> >>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada. >>> >>> >>> >>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma: >>> >>> 1 -> 0100101010101 >>> >>> 2 -> 010101010101 >>> >>> 3 -> 1111111111001 >>> >>> 4 -> 000000000000 >>> >>> 5 -> 1110111010101 >>> >>> >>> >>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de >>> >>> cada um dos elementos, um a um: >>> >>> >>> >>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1). >>> >>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um: >>> >>> >>> >>> s = 1.... >>> >>> >>> >>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que >>> é 1): >>> >>> >>> >>> s = 10.... >>> >>> >>> >>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100... >>> >>> O quarto, s = 1001... >>> >>> O quinto, s = 10010 >>> >>> >>> >>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ... >>> >>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1). O >>> >>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante. >>> >>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei >>> >>> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois >>> cria >>> >>> a sequência dos opostos. >>> >>> >>> >>> Abraços, >>> >>> -- >>> >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> >>> >>> >>> -- >>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> >>> >>> ============================================================ >>> ============= >>> >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>> ============================================================ >>> ============= >>> >> >>> >> >>> >> -- >>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>> > >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ============================================================ >>> ============= >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ============================================================ >>> ============= >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
