Por exemplo, Pitágoras pode ser demonstrado por áreas e por semelhança. Ceva também. E nos elementos de Euclides, a proposição 3 do livro VI (essencialmente o teorema de Tales) sai por áreas (apesar de depender da teria das proporções de Eudoxo, descrita no livro V).
De fato, minha conjectura deveria ser: dados os axiomas dos números reais, áreas e semelhança são equivalentes. Abs Enviado do meu iPhone Em 21 de abr de 2018, à(s) 08:12, Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em 18 de abril de 2018 08:53, Claudio Buffara > <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> Considere o seguinte problema (fácil): >> No triângulo ABC, H é o pé da altura relativa ao vértice B e K o pé da >> altura relativa ao vértice C (logo, H pertence à reta suporte de AC e K à >> reta suporte de AB). >> Prove que AB*CK = AC*BH. >> >> Solução 1: >> 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH >> >> Solução 2: >> Os triângulos retângulos AHB e AKC são semelhantes (AHB = AKC = 1 reto e A >> comum). >> Logo, AB/AC = BH/CK. >> Mas isso é equivalente a AB*CK = AC*BH. >> >> Este problema me levou à seguinte pergunta: será que as teorias de área e >> de >> semelhança são equivalentes? >> Em outras palavras, será que tudo que pode ser provado via considerações >> de >> área também pode ser provado por semelhança (e vice-versa)? >> > > Acredito que não. Não lembro muito bem de axiomas sobre áreas de > figuras geométricas, mas sobre semelhança o mais importante é o caso > LAL. Na verdade, este é um postulado sobre congruências: "dois > triângulo com dois lados e o ângulo entre eles iguais são iguais". > > Não imagino um postulado sobre áreas equivalente a isso. > > Por outro lado, também não conheço nenhum equivalente ao PrincÃpio de > Cavalieri em termos de semelhança. De fato, isso parece insano :) > >> []s, >> Claudio. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
