A altura relativa à hipotenusa divide o triangulo retângulo em dois outros semelhantes a ele. Daí e’ só operar com as proporções resultantes.
Ceva por áreas tem logo no cap 1 do Geometry Revisited. Menelaus é equivalente a Ceva. Mas provar que Ceva ==> Menelaus é bem mais difícil. O livro do Elon q eu mencionei tem uma definição axiomática de área. Abs Enviado do meu iPhone Em 21 de abr de 2018, à(s) 16:18, Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em 21 de abril de 2018 10:28, Claudio Buffara > <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> Por exemplo, Pitágoras pode ser demonstrado por áreas e por semelhança. >> Ceva também. > > As demos de Pitágoras que conheço costumam usar recorta-e-cola. > Conheço uma muito boa que usa áreas e semelhança. Basicamente, > substitua os quadrados nos lados por triângulos retângulos semelhantes > ao próprio. > > Ceva? Bem, eu já vi Menelaus com áreas, devo dizer. > >> E nos elementos de Euclides, a proposição 3 do livro VI (essencialmente o >> teorema de Tales) sai por áreas (apesar de depender da teria das >> proporções de Eudoxo, descrita no livro V). >> >> De fato, minha conjectura deveria ser: dados os axiomas dos números reais, >> áreas e semelhança são equivalentes. >> > > Novamente, não lembro de nenhum tratamento sistemático/axiomático de > áreas. Ainda não consigo imaginar um Cavalieri com semelhanças. > >> Abs >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 21 de abr de 2018, à (s) 08:12, Anderson Torres >> <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >>> Em 18 de abril de 2018 08:53, Claudio Buffara >>> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>>> Considere o seguinte problema (fácil): >>>> No triângulo ABC, H é o pé da altura relativa ao vértice B e K >>>> o pé da >>>> altura relativa ao vértice C (logo, H pertence à reta suporte de AC e >>>> K à >>>> reta suporte de AB). >>>> Prove que AB*CK = AC*BH. >>>> >>>> Solução 1: >>>> 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH >>>> >>>> Solução 2: >>>> Os triângulos retângulos AHB e AKC são semelhantes (AHB = AKC = 1 >>>> reto e A >>>> comum). >>>> Logo, AB/AC = BH/CK. >>>> Mas isso é equivalente a AB*CK = AC*BH. >>>> >>>> Este problema me levou à seguinte pergunta: será que as teorias de >>>> área e de >>>> semelhança são equivalentes? >>>> Em outras palavras, será que tudo que pode ser provado via >>>> considerações de >>>> área também pode ser provado por semelhança (e vice-versa)? >>>> >>> >>> Acredito que não. Não lembro muito bem de axiomas sobre áreas de >>> figuras geométricas, mas sobre semelhança o mais importante é o >>> caso >>> LAL. Na verdade, este é um postulado sobre congruências: "dois >>> triângulo com dois lados e o ângulo entre eles iguais são iguais". >>> >>> Não imagino um postulado sobre áreas equivalente a isso. >>> >>> Por outro lado, também não conheço nenhum equivalente ao >>> PrincÃÂpio de >>> Cavalieri em termos de semelhança. De fato, isso parece insano :) >>> >>>> []s, >>>> Claudio. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ========================================================================= >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ========================================================================= >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
