Tenho uma solução aqui: Seja p um primo que divide 12n^2 +1, teremos que 12n^2 = -1 mód p. Seja x o inverso multiplicativo de 12 módulo p em (Zp)*, então n^2= -x mód p, portanto -x é resíduo quadrático módulo p. Denote (/) o simbolo de Legendre, teremos (-x/p)=1, mas 1=(1/p)=(x.12/p) (-x/p)(-12/p) --> (-12/p)=1 --> (-1/p)(4/p)(3/p)=1 --> (-1/p)(3/p)=1, ou seja, (-1/p)=(3/p)=1 ou (-1/p)=(3/p)=-1. Em qualquer livro de teoria dos números que contenha o assunto de resíduos quadráticos podemos ver a demonstração de que (-1/p)=1 se p=1 mód 4 e (-1/p)=-1 se p=3 mód 4. Do teorema da reciprocidade quadrática (p é diferente de 2 e 3), temos (p/3)(3/p)= (-1)^((p-1)/2) --> Mas p é congruente a 1,5 ,7 ou 11 módulo 12 ( pois é primo e não é 2 ou 3), testando cada caso, temos (p/3)=1 se p=1 ou 7 módulo 12 (pois devemos ter p=1 mód 3) e (p/3)=-1 se p=5 ou 11 módulo 12. Observando que (-1)^((p-1)/2)=1 se p=1 ou 5 módulo 12 e -1 se p=7 ou 11 módulo 12, obteremos que (3/p)=1 se p =1 ou 11 módulo 12 e -1 se p =5 ou 7 módulo 12.
Por último, se (-1/p)=(3/p)=1, teremos p=1 mód 4 e p= 1 ou 11 módulo 12 --> p=1 mód 12. Se (-1/p)=(3/p)=-1, teremos p=3 mód 4 e p=5 ou 7 módulo 12 --> p=7 mód 12. Daí p = 1 ou 7 módulo 12 --> p=1 mód 6, como queríamos. Em qua, 6 de jun de 2018 11:38, Pedro Chaves <brped...@hotmail.com> escreveu: > Caros Colegas, > > Não consegui resolver a questão abaixo. Peço auxílio. > > Questão: Para cada inteiro positivo n, mostrar que todo divisor primo > de 12n^2 + 1 é da forma 6k +1, sendo k um inteiro positivo. > > > > > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail> > Livre > de vírus. www.avast.com > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>. > <#m_-5922224041030565945_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
